Um sistema de segurança é composto por dois alarmes, A_{1} e A_{2}. Os alarmes funcionam de forma independente. A probabilidade de A_{1} falhar em detectar um intruso é 0.05 . A probabilidade de A_{2} falhar em detectar um intruso é 0.10 . O sistema dispara se pelo menos um dos alarmes detectar o intruso.
Qual é a probabilidade de o sistema falhar em detectar o intruso?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de o sistema de segurança falhar em detectar um intruso. Dados fornecidos:
  • Existem dois alarmes: A_{1} e A_{2}.
  • Os alarmes funcionam de forma independente.
  • A probabilidade de A_{1} falhar em detectar um intruso é \,0,05.
  • A probabilidade de A_{2} falhar em detectar um intruso é \,0,10.
  • O sistema dispara (ou seja, detecta) se pelo menos um dos alarmes detectar o intruso.
    Queremos: a probabilidade de o sistema falhar em detectar o intruso (ou seja, nenhum dos alarmes detecta).

Passo 2

Definimos eventos claros para não nos confundir:
  • Seja F_{1} o evento “o alarme A_{1} falha em detectar”.
  • Seja F_{2} o evento “o alarme A_{2} falha em detectar”.
    O sistema falha em detectar o intruso exatamente quando ambos os alarmes falham ao mesmo tempo, isto é, ocorre o evento \,F_{1}\cap F_{2}.

Passo 3

Como o enunciado diz que os alarmes são independentes, usamos a regra da multiplicação para eventos independentes:
\text{Se }F_{1}\text{ e }F_{2}\text{ são independentes, então } \;P(F_{1}\cap F_{2}) = P(F_{1})\cdot P(F_{2}).ãã
Explicando a ideia: independência significa que a falha de um alarme não altera a probabilidade de falha do outro; por isso a probabilidade de os dois falharem é o produto das probabilidades individuais. Um exemplo intuitivo: se eu lanço duas moedas e cada uma tem probabilidade 1/2 de dar cara, a probabilidade das duas saírem cara é (1/2)\cdot(1/2).

Passo 4

Agora substituímos os valores dados:
P(F_{1})=0,05,\qquad P(F_{2})=0,10.
Aplicando a regra:
P(F_{1}\cap F_{2}) = 0,05 \cdot 0,10 = 0,005.
Em porcentagem isso é
0,005 = 0,5\%.

Passo 5

Cheque rápido (opcional, para conferir): a probabilidade do sistema detectar o intruso é o complementar de ambos falharem:
P(\text{sistema detecta}) = 1 - P(F_{1}\cap F_{2}) = 1 - 0,005 = 0,995 = 99,5\%.
Isso faz sentido: é muito mais provável que ao menos um alarme funcione.

Resposta

0,005 (ou seja, 0,5\%)

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