Um sistema de segurança é composto por dois alarmes,
e
. Os alarmes funcionam de forma independente. A probabilidade de
falhar em detectar um intruso é 0.05 . A probabilidade de
falhar em detectar um intruso é 0.10 . O sistema dispara se pelo menos um dos alarmes detectar o intruso.
Qual é a probabilidade de o sistema falhar em detectar o intruso?
Qual é a probabilidade de o sistema falhar em detectar o intruso?
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de o sistema de segurança falhar em detectar um intruso. Dados fornecidos:
- Existem dois alarmes:
e . - Os alarmes funcionam de forma independente.
- A probabilidade de
falhar em detectar um intruso é . - A probabilidade de
falhar em detectar um intruso é . - O sistema dispara (ou seja, detecta) se pelo menos um dos alarmes detectar o intruso.
Queremos: a probabilidade de o sistema falhar em detectar o intruso (ou seja, nenhum dos alarmes detecta).
Passo 2
Definimos eventos claros para não nos confundir:
- Seja
o evento “o alarme falha em detectar”. - Seja
o evento “o alarme falha em detectar”.
O sistema falha em detectar o intruso exatamente quando ambos os alarmes falham ao mesmo tempo, isto é, ocorre o evento.
Passo 3
Como o enunciado diz que os alarmes são independentes, usamos a regra da multiplicação para eventos independentes:
Explicando a ideia: independência significa que a falha de um alarme não altera a probabilidade de falha do outro; por isso a probabilidade de os dois falharem é o produto das probabilidades individuais. Um exemplo intuitivo: se eu lanço duas moedas e cada uma tem probabilidade
de dar cara, a probabilidade das duas saírem cara é
.
Passo 4
Agora substituímos os valores dados:
Aplicando a regra:
Em porcentagem isso é
Passo 5
Cheque rápido (opcional, para conferir): a probabilidade do sistema detectar o intruso é o complementar de ambos falharem:
Isso faz sentido: é muito mais provável que ao menos um alarme funcione.