Um barco faz uma viagem de 72 horas rio acima. Se o barco tem uma velocidade de 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em relação ao rio e a distância percorrida é de 1000 km , (a) qual é a velocidade das águas do rio em relação às margens? (b) Quanto tempo o barco levaria para fazer o trajeto de retorno, nas mesmas condições?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei estes números do enunciado):
  • O barco tem velocidade em relação à água: v_b = 30\\ \mathrm{km/h}.
  • A viagem rio acima (contra a corrente) teve duração: t_{\text{subida}} = 72\\ \mathrm{h}.
  • A distância percorrida em cada sentido é: d = 1000\\ \mathrm{km}.
O enunciado pede:
(a) determinar a velocidade da água do rio em relação às margens (ou seja, a velocidade da corrente), que chamaremos de v_w;
(b) calcular quanto tempo o barco levaria para fazer o trajeto de retorno (ou seja, rio abaixo), nas mesmas condições.

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (explicando cada variável):
  • Velocidade média é definida por razão entre distância e tempo:
v=\frac{d}{t},
onde d é a distância percorrida, t é o tempo gasto, e v é a velocidade média sobre o solo (ou sobre as margens, no caso do barco).
  • Quando há corrente de água, a velocidade efetiva do barco em relação às margens depende da direção:
    • rio acima (contra a corrente): a velocidade efetiva é a velocidade do barco em relação à água menos a velocidade da água, v_{\text{up}}=v_b - v_w.
    • rio abaixo (com a corrente): a velocidade efetiva é a soma, v_{\text{down}}=v_b + v_w.
  • Para encontrar v_w usamos o tempo e a distância da subida (rio acima) com a fórmula v_{\text{up}}=d/t_{\text{subida}}.

Passo 3

Calcular a velocidade efetiva rio acima usando v=\dfrac{d}{t}.
v_{\text{up}}=\frac{d}{t_{\text{subida}}}=\frac{1000}{72}.
Simplificando a fração:
\frac{1000}{72}=\frac{125}{9}.
Em valor decimal:
\frac{125}{9}\approx 13,888\ldots\\ \mathrm{km/h}.

Passo 4

Relacionar v_{\text{up}} com v_b e v_w e isolar v_w.
v_{\text{up}}=v_b - v_w \quad\Rightarrow\quad v_w = v_b - v_{\text{up}}.
Substituindo v_b=30 e v_{\text{up}}=\dfrac{125}{9}:
v_w = 30 - \frac{125}{9}.
Colocando em uma única fração:
30=\frac{270}{9}\quad\Rightarrow\quad v_w=\frac{270}{9}-\frac{125}{9}=\frac{145}{9}\\ \mathrm{km/h}.
Valor decimal aproximado:
\frac{145}{9}\approx 16,111\ldots\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Interpretação do resultado de (a): a corrente é relativamente forte, pois reduz bastante a velocidade efetiva rio acima (de 30 para cerca de 13,89 km/h), o que faz sentido com o tempo de 72 horas para percorrer 1000 km.

Passo 6

Agora calcular a velocidade efetiva rio abaixo, necessária para achar o tempo de retorno.
v_{\text{down}}=v_b+v_w = 30 + \frac{145}{9}.
Colocando em fração:
30=\frac{270}{9}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{down}}=\frac{270}{9}+\frac{145}{9}=\frac{415}{9}\\ \mathrm{km/h}.
Valor decimal aproximado:
\frac{415}{9}\approx 46,111\ldots\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Calcular o tempo de retorno usando t=\dfrac{d}{v} com d=1000 e v=v_{\text{down}}=\dfrac{415}{9}:
t_{\text{retorno}}=\frac{1000}{\tfrac{415}{9}}=1000\cdot\frac{9}{415}=\frac{9000}{415}.
Simplificando por 5:
\frac{9000}{415}=\frac{1800}{83}\\ \mathrm{h}.
Valor decimal aproximado:
\frac{1800}{83}\approx 21,6867\\ \mathrm{h}.
Se preferir em horas, minutos e segundos: 0,6867\\ \mathrm{h}\times 60\approx 41,204\\ \mathrm{min}, ou seja aproximadamente 21\\ \mathrm{h}\\\ 41\\ \mathrm{min}\\\ 12\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) v_w=\dfrac{145}{9}\\ \mathrm{km/h}\approx16,11\\ \mathrm{km/h}
(b) t_{\text{retorno}}=\dfrac{1800}{83}\\ \mathrm{h}\approx21,69\\ \mathrm{h} (aprox. 21\\ \mathrm{h}\\\ 41\\ \mathrm{min}\\\ 12\\ \mathrm{s})

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