Um satélite artificial circunda a Terra à altitude de 8,0 \times 10^{5} \mathrm{~m}, com período de 100 minutos . O raio da Terra é de 6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}. Determine a velocidade linear do satélite e sua aceleração radial, considerando seu movimento circular e uniforme.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a velocidade linear e a aceleração radial (centrípeta) do satélite, supondo movimento circular uniforme. Os dados fornecidos são:
  • altitude do satélite: h=8,0\times10^{5}\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • raio da Terra: R=6,37\times10^{6}\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado);
  • período do satélite: T=100\\ \text{min} (peguei do enunciado).
Observações que vou usar: para um movimento circular uniforme com raio r e período T,
  • a velocidade linear é dada por v=\dfrac{2\pi r}{T};
  • a aceleração radial (centrípeta) é dada por a_{r}=\dfrac{v^{2}}{r}, que também pode ser escrita como a_{r}=\dfrac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.

Passo 2

Primeiro calculo o raio da órbita r, somando o raio da Terra com a altitude do satélite:
r=R+h=6,37\times10^{6}+8,0\times10^{5}=7,17\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
Também converto o período para segundos (para trabalhar em unidades SI):
T=100\\ \text{min}=100\times60\\ \text{s}=6000\\ \text{s}.

Passo 3

Agora explico a fórmula da velocidade e o porquê: a distância percorrida em uma volta é a circunferência 2\pi r. Como o período T é o tempo de uma volta inteira, a velocidade média (que aqui é a velocidade constante) vale
v=\dfrac{2\pi r}{T},
onde:
  • v é a velocidade linear em \mathrm{m/s},
  • r é o raio da órbita em \mathrm{m},
  • T é o período em \mathrm{s}.
Substituindo os valores:
2\pi r=2\pi\cdot7,17\times10^{6}\approx4,5049\times10^{7}\\ \mathrm{m},
v=\dfrac{4,5049\times10^{7}}{6000}\approx7,5082\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma conveniente (os dados têm 2–3 algarismos significativos), tomo
v\approx7,51\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora explico a fórmula da aceleração radial. Para movimento circular uniforme a aceleração que aponta para o centro tem magnitude
a_{r}=\dfrac{v^{2}}{r}.
Uma forma equivalente, usando v=\dfrac{2\pi r}{T}, é
a_{r}=\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2}r=\dfrac{4\pi^{2}r}{T^{2}}.
Aqui:
  • a_{r} é a aceleração radial em \mathrm{m/s^{2}},
  • v é a velocidade linear em \mathrm{m/s},
  • r é o raio em \mathrm{m},
  • T é o período em \mathrm{s}.

Passo 5

Calculo a_{r} usando a forma \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2}r (porque evita acumular erro ao elevar v ao quadrado):
\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{6000}\approx0,0010471976\\ \mathrm{s^{-1}},
\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2}\approx1,0966227\times10^{-6}\\ \mathrm{s^{-2}},
a_{r}= \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^{2} r \approx 1,0966227\times10^{-6}\times7,17\times10^{6}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx7,87\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Também poderia calcular por \dfrac{v^{2}}{r} com v\approx7,5082\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} e obteria praticamente o mesmo valor. Arredondo para dois decimais coerentes com os dados:
a_{r}\approx7,87\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Pequeno check de plausibilidade (só para dar segurança): a gravidade na superfície é \approx9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. A h=8,0\times10^{5}\\ \mathrm{m} a aceleração gravitacional esperada é menor e um valor de 7{,}8 a 7{,}9\\ \mathrm{m/s^{2}} é razoável — e deve ser próximo ao valor centrípeto para uma órbita estável, então os números fazem sentido. Força para seguir estudando — vai dar certo!

Resposta

v\approx7,51\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
a_{r}\approx7,87\\ \mathrm{m/s^{2}}

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