O vetor posição de uma partícula é dado por:
. (a) Determine os vetores velocidade e aceleração da partícula em função do tempo e (b) encontre sua posição, velocidade e aceleração após 5 s .
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição da partícula e pede duas coisas:
- Dado:
. - Pergunta (a): determinar os vetores velocidade e aceleração da partícula em função do tempo.
- Pergunta (b): encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante
.
Informações relevantes fornecidas:
- A posição está dada componente a componente: componente
igual a , componente igual a e componente igual a . - Não há outras forças, condições ou dependências temporais além do que foi dado. Vamos trabalhar apenas com derivadas temporais das componentes para obter velocidade e aceleração.
Passo 2
Conceito e fórmula para velocidade (aula rápida e prática).
- Definição: a velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo.
- Fórmula que vamos usar:
- Como aplicar na prática: tomar derivada de cada componente do vetor posição separadamente (derivada componente a componente).
- Regras de derivação necessárias (lembrete):
- Derivada de uma constante é zero.
- Regra do poder:
para inteiro positivo.
- Com isso já podemos derivar cada componente de
.
Passo 3
Cálculo da velocidade componente a componente.
- Componente
: a posição é (constante), então
- Componente
: a posição é , então
- Componente
: a posição é , então pela regra do poder
- Montando o vetor velocidade:
- Para clareza, é comum escrever sem o zero explícito na componente
:
Passo 4
Conceito e fórmula para aceleração (aula rápida).
- Definição: a aceleração é a taxa de variação do vetor velocidade em relação ao tempo.
- Fórmula:
- Vamos derivar componente a componente o vetor velocidade obtido no passo anterior.
Passo 5
Cálculo da aceleração componente a componente.
- Da velocidade temos componentes:
, , . - Derivando:
-
. -
. -
.
-
- Montando o vetor aceleração:
- Simplificando:
Passo 6
Avaliação das funções no instante
: posição
, velocidade
e aceleração
.
- Posição:
- Velocidade (usar
):
(ou seja, componente
é
,
é
,
é
.)
- Aceleração (usar
):
(ou seja, componentes
e
são
e
é
.)
Resposta
(a)
\
(b)
\
\