O vetor posição de uma partícula é dado por: r(t)=5 \hat{\imath}+t \hat{\jmath}+t^{3} \hat{k}. (a) Determine os vetores velocidade e aceleração da partícula em função do tempo e (b) encontre sua posição, velocidade e aceleração após 5 s .

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição da partícula e pede duas coisas:
  • Dado: \mathbf{r}(t)=5\hat{\imath}+t\hat{\jmath}+t^{3}\hat{k}.
  • Pergunta (a): determinar os vetores velocidade e aceleração da partícula em função do tempo.
  • Pergunta (b): encontrar a posição, a velocidade e a aceleração da partícula no instante t=5\\ \text{s}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A posição está dada componente a componente: componente x igual a 5, componente y igual a t e componente z igual a t^{3}.
  • Não há outras forças, condições ou dependências temporais além do que foi dado. Vamos trabalhar apenas com derivadas temporais das componentes para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Conceito e fórmula para velocidade (aula rápida e prática).
  • Definição: a velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo.
  • Fórmula que vamos usar:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}.
  • Como aplicar na prática: tomar derivada de cada componente do vetor posição separadamente (derivada componente a componente).
  • Regras de derivação necessárias (lembrete):
    • Derivada de uma constante é zero.
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1} para n inteiro positivo.
  • Com isso já podemos derivar cada componente de \mathbf{r}(t).

Passo 3

Cálculo da velocidade componente a componente.
  • Componente x: a posição é 5 (constante), então
\frac{d}{dt}\bigl(5\bigr)=0.
  • Componente y: a posição é t, então
\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)=1.
  • Componente z: a posição é t^{3}, então pela regra do poder
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2}.
  • Montando o vetor velocidade:
\mathbf{v}(t)=0\hat{\imath}+1\hat{\jmath}+3t^{2}\hat{k}.
  • Para clareza, é comum escrever sem o zero explícito na componente x:
\mathbf{v}(t)=\hat{\jmath}+3t^{2}\hat{k}.

Passo 4

Conceito e fórmula para aceleração (aula rápida).
  • Definição: a aceleração é a taxa de variação do vetor velocidade em relação ao tempo.
  • Fórmula:
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}=\frac{d^{2}\mathbf{r}(t)}{dt^{2}}.
  • Vamos derivar componente a componente o vetor velocidade obtido no passo anterior.

Passo 5

Cálculo da aceleração componente a componente.
  • Da velocidade temos componentes: v_x(t)=0, v_y(t)=1, v_z(t)=3t^{2}.
  • Derivando:
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(0\bigr)=0.
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(1\bigr)=0.
    • \dfrac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot 2t=6t.
  • Montando o vetor aceleração:
\mathbf{a}(t)=0\hat{\imath}+0\hat{\jmath}+6t\hat{k}.
  • Simplificando:
\mathbf{a}(t)=6t\hat{k}.

Passo 6

Avaliação das funções no instante t=5\\ \text{s}: posição \mathbf{r}(5), velocidade \mathbf{v}(5) e aceleração \mathbf{a}(5).
  • Posição:
\mathbf{r}(5)=5\hat{\imath}+5\hat{\jmath}+5^{3}\hat{k}=5\hat{\imath}+5\hat{\jmath}+125\hat{k}.
  • Velocidade (usar \mathbf{v}(t)=\hat{\jmath}+3t^{2}\hat{k}):
\mathbf{v}(5)=\hat{\jmath}+3\cdot 5^{2}\hat{k}=\hat{\jmath}+3\cdot 25\hat{k}=\hat{\jmath}+75\hat{k}.
(ou seja, componente x é 0, y é 1, z é 75.)
  • Aceleração (usar \mathbf{a}(t)=6t\hat{k}):
\mathbf{a}(5)=6\cdot 5\\ \hat{k}=30\hat{k}.
(ou seja, componentes x e y são 0 e z é 30.)

Resposta

(a) \mathbf{v}(t)=\hat{\jmath}+3t^{2}\hat{k} \
\mathbf{a}(t)=6t\hat{k}
(b) \mathbf{r}(5)=5\hat{\imath}+5\hat{\jmath}+125\hat{k} \
\mathbf{v}(5)=\hat{\jmath}+75\hat{k} \
\mathbf{a}(5)=30\hat{k}

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