Um reservatório de água em forma de cone circular reto tem um vazamento a uma taxa constante de
. Se o raio da base do reservatório é 4 m e a altura é 8 m , determine a taxa de variação em que o nível da água do reservatório diminui quando está a uma altura de 2 m do topo.
Passo 1
O enunciado diz que temos um reservatório em forma de cone circular reto, com altura total
m e raio da base
m, que perde água a uma taxa constante de
L/s. Precisamos achar a taxa de variação do nível da água,
, no instante em que o nível de água está a
m do topo do cone. O conteúdo usado será geometria do volume do cone e derivação em relação ao tempo (taxas relacionadas).
Passo 2
Primeiro convertemos a taxa de vazamento para unidades de metro cúbico por segundo. Como
L
m
, temos
sendo o sinal negativo porque o volume está diminuindo.
Passo 3
Seja
a altura da coluna de água medida a partir do vértice do cone (o fundo). O volume dessa coluna é
Pela semelhança de triângulos no cone,
, logo
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Agora derivamos em relação ao tempo
:
Passo 5
No instante em que o nível de água está a
m do topo, a altura medida a partir do vértice é
Substituindo
m
/s e
m na relação
temos
Logo