Um reservatório de água em forma de cone circular reto tem um vazamento a uma taxa constante de 0,5 l / s. Se o raio da base do reservatório é 4 m e a altura é 8 m , determine a taxa de variação em que o nível da água do reservatório diminui quando está a uma altura de 2 m do topo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um reservatório em forma de cone circular reto, com altura total H=8 m e raio da base R=4 m, que perde água a uma taxa constante de 0,5 L/s. Precisamos achar a taxa de variação do nível da água, dhdt, no instante em que o nível de água está a 2 m do topo do cone. O conteúdo usado será geometria do volume do cone e derivação em relação ao tempo (taxas relacionadas).

Passo 2

Primeiro convertemos a taxa de vazamento para unidades de metro cúbico por segundo. Como 1 L = 10^-3 m ^3, temos
dVdt = -0,5 times 10^-3 = -0,0005 m^3/s,
sendo o sinal negativo porque o volume está diminuindo.

Passo 3

Seja h a altura da coluna de água medida a partir do vértice do cone (o fundo). O volume dessa coluna é
V = 13,pi,r^2,h
Pela semelhança de triângulos no cone, rh = RH = 48 = tfrac12, logo
r = h2

Passo 4

Substituindo r=tfrac h2 em V, obtemos
V = 13,pil(h2r)^2h = pi3,h^34 = pi12,h^3
Agora derivamos em relação ao tempo t:
dVdt = pi12cdot 3,h^2dhdt = pi4,h^2dhdt

Passo 5

No instante em que o nível de água está a 2 m do topo, a altura medida a partir do vértice é
h = H - 2 = 8 - 2 = 6 m
Substituindo dVdt=-0,0005 m ^3/s e h=6 m na relação
-0,0005 = pi4,(6)^2,dhdt,
temos
-0,0005 = pi4cdot 36,dhdt = 9pi,dhdt
Logo
dhdt = -0,00059pi = -5times10^-49pi approx -1,77times10^-5 m/s

Resposta

dhdtapprox -1,77times10^-5 m/s

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