Uma barra de 10 metros de aluminio a uma temperatura inicial de 20^{\circ} \mathrm{C} fica exposta ao sol, sendo sua temperatura elevada para 40^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o coeficiente de dilatação do aluminio é \mathrm{a}_{\mathrm{N}}=22.10^{-8} \mathrm{C}^{-1}, calcule a dilatação sofrida pela barra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo que é útil):
  • Comprimento inicial da barra: L_{0}=10\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: T_{i}=20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_{f}=40^{\circ}\mathrm{C}.
  • Coeficiente de dilatação linear do alumínio: a_{N}=22\cdot10^{-8}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    O que o problema pede: calcular a dilatação (variação de comprimento) sofrida pela barra, isto é \Delta L.

Passo 2

Fórmula básica da dilatação linear (a que usamos para barras finas, umidimensionais):
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,\Delta T
Explicando cada símbolo:
  • \Delta L é a dilatação linear (variação de comprimento) que queremos calcular.
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (no enunciado é a_{N}; vou usar \alpha como notação comum).
  • L_{0} é o comprimento inicial da barra.
  • \Delta T é a variação de temperatura, dada por \Delta T = T_{f}-T_{i}.
Pequena observação física importante (muito útil na prova): uma variação de temperatura de 1\\ ^\circ\mathrm{C} corresponde a 1\\ \mathrm{K}, então pode-se usar diretamente graus Celsius na fórmula de variação \Delta T.

Passo 3

Calcular a variação de temperatura:
\Delta T = T_{f}-T_{i} = 40^{\circ}\mathrm{C}-20^{\circ}\mathrm{C} = 20^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 4

Colocar o coeficiente em notação mais conveniente (exponencial) para facilitar as contas:
\alpha = a_{N} = 22\cdot10^{-8}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1} = 2,2\cdot10^{-7}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Expliquei: multiplicando por 10 e ajustando o expoente obtém-se 2,2\cdot10^{-7}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula \Delta L=\alpha L_{0}\Delta T. Substituindo os valores:
\Delta L = \left(2,2\cdot10^{-7}\right)\cdot\left(10\right)\cdot\left(20\right).
Fazendo as contas passo a passo:
\left(2,2\cdot10^{-7}\right)\cdot10 = 2,2\cdot10^{-6},
2,2\cdot10^{-6}\cdot20 = 44\cdot10^{-6} = 4,4\cdot10^{-5}.
Portanto
\Delta L = 4,4\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter para unidades mais intuitivas:
  • Em milímetros: 1\\ \mathrm{m}=10^{3}\\ \mathrm{mm}, então
\Delta L = 4,4\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m} = 4,4\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mm} = 0,044\\ \mathrm{mm}.
  • Em micrômetros:
\Delta L = 44\\ \mu\mathrm{m}.
Pequeno comentário encorajador: é uma dilatação muito pequena (apenas algumas dezenas de micrômetros) — normal para metais em variações de temperatura moderadas.

Resposta

4,4\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}
0,044\\ \mathrm{mm}

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