Sabendo que o coeficiente de dilatação linear do ferro é 1,2.10^{-5}, determine o coeficiente de dilataçāo superficial.

Passo 1

O enunciado dá o coeficiente de dilatação linear do ferro e pede o coeficiente de dilatação superficial (areal). Informações fornecidas:
  • Coeficiente de dilatação linear: \alpha = 1,2\times 10^{-5}.
    O que se pede:
  • Determinar o coeficiente de dilatação superficial (denotar por \beta) correspondente a esse material.

Passo 2

Entender o que significa o coeficiente de dilatação linear. Para um comprimento inicial L_0 que sofre uma variação de temperatura \Delta T, o novo comprimento L é dado por
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr).
Aqui:
  • L_0 é o comprimento inicial;
  • L é o comprimento após aquecimento;
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade \text{K}^{-1} ou ^\circ\text{C}^{-1});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em K ou ^\circ\text{C}).

Passo 3

Definir o coeficiente de dilatação superficial. Para uma área inicial A_0 que sofre a mesma variação de temperatura \Delta T, a nova área A pode ser escrita como
A = A_0\bigl(1 + \beta\,\Delta T\bigr),
onde \beta é o coeficiente de dilatação superficial (unidade \text{K}^{-1}). Nosso objetivo é relacionar \beta com \alpha.

Passo 4

Fazer um modelo simples e concreto: considerar um pequeno quadrado de lado L_0, área A_0 = L_0^2. Após aquecimento, cada lado fica
L = L_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr),
portanto a nova área é
A = L^2 = L_0^2\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^2 = A_0\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^2.

Passo 5

Desenvolver o quadrado e aproximar porque \alpha é muito pequeno. Expandindo:
\bigl(1 + \alpha\,\Delta T\bigr)^2 = 1 + 2\alpha\,\Delta T + (\alpha\,\Delta T)^2.
Como normalmente \alpha é da ordem de 10^{-5}, o termo (\alpha\,\Delta T)^2 é muito pequeno (por exemplo, se \Delta T\sim 100, então \alpha\,\Delta T\sim 10^{-3} e (\alpha\,\Delta T)^2\sim 10^{-6}), logo podemos desprezá-lo. Assim:
A \approx A_0\bigl(1 + 2\alpha\,\Delta T\bigr).

Passo 6

Comparar com a definição de coeficiente superficial A = A_0\bigl(1 + \beta\,\Delta T\bigr). Igualando os fatores multiplicativos obtemos
\beta = 2\alpha.
Essa é uma relação geral para materiais isotrópicos: o coeficiente superficial é aproximadamente o dobro do linear.

Passo 7

Calcular numericamente usando o valor dado de \alpha:
\beta = 2\alpha = 2\cdot\bigl(1,2\times 10^{-5}\bigr) = 2,4\times 10^{-5}.
Unidade: \text{K}^{-1} (ou ^\circ\text{C}^{-1}).

Passo 8

Observação prática (dica para a prova): memorize a regra rápida \beta \approx 2\alpha e, para volume, \gamma \approx 3\alpha. Se precisar, justifique rapidamente usando a ideia do produto das expansões em cada direção e desprezando termos quadráticos em \alpha.

Resposta

\beta = 2,4\times 10^{-5}\\ \text{K}^{-1}

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