Uma barra de 30 mm de diâmetro e 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. A uma distância de 250 mm de uma das extremidades, é aplicado um momento de torção que provoca uma tensão cisalhante máxima de 35 MPa . Determinar a intensidade do momento e o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento torçor. Considerar G = 76 Gpa
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (resumo claro do que foi informado):
- Diâmetro da barra:
. - Comprimento total:
. - Posição do momento aplicado medida a partir de uma extremidade:
. - Tensão cisalhante máxima provocada:
. - Módulo de cisalhamento:
.
O que se pede: - A intensidade do momento aplicado
. - O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (ou seja, a rotação do eixo naquele ponto, em radianos).
Passo 2
Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Para uma seção circular maciça, o momento de torção interno
produz uma tensão cisalhante máxima na superfície dada por
onde:
-
é a tensão cisalhante máxima (na superfície), -
é o torque interno na seção considerada (N·mm), -
é o raio externo da barra ( , em mm), -
é o momento polar de inércia da seção em relação ao eixo (mm^4). - Para uma seção circular maciça o momento polar de inércia é
- O ângulo de torção
(em radianos) de um segmento prismatico submetido a um torque constante e comprimento é
onde
é o módulo de cisalhamento (N/mm^2),
em mm^4,
em N·mm,
em mm. Essa fórmula vem de integrar
para eixo prismatico.
Passo 3
Calcular
e
com os dados:
-
- Calcular
:
Fazendo as contas:
Passo 4
Análise estática e compatibilidade (por que não podemos dizer simplesmente
é o torque interno em toda barra):
- A barra está engastada nas duas extremidades; o momento aplicado no interior produz torques de reação nas extremidades. Denotar as reações (torques internos constantes nos dois segmentos) por
no segmento entre a extremidade esquerda e o ponto aplicado (comprimento ) e por no segmento entre o ponto aplicado e a extremidade direita (comprimento ). - Equilíbrio global de torques (somatório dos torques verticais): as reações somam o torque aplicado
, isto é
- Como as extremidades são engastadas (rotações nas extremidades iguais a zero), a compatibilidade da rotação no ponto de aplicação exige que a rotação produzida pelo segmento esquerdo seja igual à rotação produzida pelo segmento direito (em módulo). Assim
- Resolver esse sistema: da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Simplificando:
e então
(Isto faz sentido físico: torques internos são proporcionais aos comprimentos opostos.)
Passo 5
Relacionar
com
e achar
:
- A maior tensão cisalhante aparecerá na seção que tiver maior torque interno (aqui com
tem ). Logo a tensão máxima dada corresponde à seção do lado esquerdo com torque interno . - Usando
e , temos
Agora substituímos números (todas as unidades coerentes em mm e N/mm^2):
Calcular passo a passo:
Multiplicar pelo fator
:
Converter para N·m:
(forma correta:
, logo)
Ops: atenção ao formato — corrigindo de forma clara:
é um engano de vírgulas. A conversão correta é
Vou apresentar o valor final arredondado e coerente:
.
(Em mm: , que é o mesmo que
— nota: para evitar confusão: o valor em N·m é
— vou manter a forma correta no resultado final:
.)
(Em mm:
Passo 6
Calcular o ângulo de torção no ponto de aplicação (rotação medida a partir da extremidade esquerda até o ponto a):
- A rotação no ponto de aplicação relativa à extremidade esquerda é
com
. Já calculámos
numericamente como
Agora
Calculemos numericamente:
Portanto
Convertendo para graus:
Passo 7
Verificação rápida de ordem de grandeza e interpretação:
- Se alguém tivesse usado a fórmula simples
ignorando o engaste nas duas extremidades, obteria . O engaste e a compatibilidade das rotações fazem com que o momento de reação no segmento maior seja , de modo que o momento aplicado necessário para gerar a mesma tensão é maior, aqui . Isso é importante: apoios fixos tornam o problema hiperestático e mudam as intensidades internas.