Uma barra de 30 mm de diâmetro e 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. A uma distância de 250 mm de uma das extremidades, é aplicado um momento de torção que provoca uma tensão cisalhante máxima de 35 MPa . Determinar a intensidade do momento e o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento torçor. Considerar G = 76 Gpa

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumo claro do que foi informado):
  • Diâmetro da barra: d=30\\ \text{mm}.
  • Comprimento total: L=1{,}0\\ \text{m}=1000\\ \text{mm}.
  • Posição do momento aplicado medida a partir de uma extremidade: a=250\\ \text{mm}.
  • Tensão cisalhante máxima provocada: \tau_{\max}=35\\ \text{MPa}=35\\ \text{N/mm}^2.
  • Módulo de cisalhamento: G=76\\ \text{GPa}=76\,000\\ \text{N/mm}^2.
    O que se pede:
  • A intensidade do momento aplicado M.
  • O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (ou seja, a rotação do eixo naquele ponto, em radianos).

Passo 2

Princípios e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Para uma seção circular maciça, o momento de torção interno T produz uma tensão cisalhante máxima na superfície dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão cisalhante máxima (na superfície),
  • T é o torque interno na seção considerada (N·mm),
  • c é o raio externo da barra ( c=d/2, em mm),
  • J é o momento polar de inércia da seção em relação ao eixo (mm^4).
  • Para uma seção circular maciça o momento polar de inércia é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • O ângulo de torção \varphi (em radianos) de um segmento prismatico submetido a um torque constante T e comprimento l é
\varphi=\frac{T\,l}{G\,J},
onde G é o módulo de cisalhamento (N/mm^2), J em mm^4, T em N·mm, l em mm. Essa fórmula vem de integrar \mathrm{d}\varphi=\dfrac{T}{GJ}\,\mathrm{d}x para eixo prismatico.

Passo 3

Calcular J e c com os dados:
  • c=\dfrac{d}{2}=\dfrac{30}{2}=15\\ \text{mm}.
  • Calcular J:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi (30)^{4}}{32}.
Fazendo as contas:
30^{2}=900,\qquad 30^{4}=900^{2}=810\,000,
J=\frac{\pi\cdot 810\,000}{32}=25\,312{,}5\pi\\ \text{mm}^{4}\approx 79\,506\\ \text{mm}^{4}.

Passo 4

Análise estática e compatibilidade (por que não podemos dizer simplesmente M é o torque interno em toda barra):
  • A barra está engastada nas duas extremidades; o momento aplicado no interior produz torques de reação nas extremidades. Denotar as reações (torques internos constantes nos dois segmentos) por T_1 no segmento entre a extremidade esquerda e o ponto aplicado (comprimento a) e por T_2 no segmento entre o ponto aplicado e a extremidade direita (comprimento L-a).
  • Equilíbrio global de torques (somatório dos torques verticais): as reações somam o torque aplicado M, isto é
T_1+T_2=M.
  • Como as extremidades são engastadas (rotações nas extremidades iguais a zero), a compatibilidade da rotação no ponto de aplicação exige que a rotação produzida pelo segmento esquerdo seja igual à rotação produzida pelo segmento direito (em módulo). Assim
\frac{T_1\,a}{GJ}=\frac{T_2\,(L-a)}{GJ}\quad\Rightarrow\quad T_1\,a=T_2\,(L-a).
  • Resolver esse sistema: da segunda equação T_2=\dfrac{T_1\,a}{L-a}. Substituindo na primeira:
T_1+\frac{T_1\,a}{L-a}=M\quad\Rightarrow\quad T_1\left(1+\frac{a}{L-a}\right)=M.
Simplificando:
T_1\frac{L}{L-a}=M\quad\Rightarrow\quad T_1=M\frac{L-a}{L},
e então
T_2=M\frac{a}{L}.
(Isto faz sentido físico: torques internos são proporcionais aos comprimentos opostos.)

Passo 5

Relacionar \tau_{\max} com M e achar M:
  • A maior tensão cisalhante aparecerá na seção que tiver maior torque interno (aqui com L-a=750\\ \text{mm} > a=250\\ \text{mm} tem T_1>T_2). Logo a tensão máxima dada \tau_{\max}=35\\ \text{MPa} corresponde à seção do lado esquerdo com torque interno T_1.
  • Usando \tau_{\max}=\dfrac{T_1 c}{J} e T_1=M\dfrac{L-a}{L}, temos
\tau_{\max}=\frac{\left(M\frac{L-a}{L}\right)c}{J}\quad\Rightarrow\quad M=\frac{\tau_{\max}\,J}{c}\cdot\frac{L}{L-a}.
Agora substituímos números (todas as unidades coerentes em mm e N/mm^2):
M=\frac{35\cdot 79\,506}{15}\cdot\frac{1000}{750}\\ \text{N·mm}.
Calcular passo a passo:
\frac{79\,506}{15}=5\,300{,}4\quad\Rightarrow\quad 35\cdot5\,300{,}4=185\,514\\ \text{N·mm}.
Multiplicar pelo fator \dfrac{1000}{750}=\dfrac{4}{3}:
M=185\,514\cdot\frac{4}{3}=247\,352\\ \text{N·mm}.
Converter para N·m:
M=247\,352\\ \text{N·mm}=247{,}352\\ \text{N·m}\times 10^{-3}=247{,}352\\ \text{N·m}?
(forma correta: 1\\ \text{N·m}=1000\\ \text{N·mm}, logo)
M=\frac{247\,352}{1000}=247{,}352\\ \text{N·m}?
Ops: atenção ao formato — corrigindo de forma clara: 247\,352\\ \text{N·mm}=247{,}352\\ \text{N·m} é um engano de vírgulas. A conversão correta é
247\,352\\ \text{N·mm}=247{,}352\\ \text{N·mm}\times\frac{1\\ \text{N·m}}{1000\\ \text{N·mm}}=247{,}352\times10^{-3}\\ \text{N·m}=247{,}352/1000\\ \text{N·m}=247{,}352/1000=247{,}352?
Vou apresentar o valor final arredondado e coerente: M\approx 247{,}4\\ \text{N·m}.
(Em mm: M=247\,352\\ \text{N·mm}, que é o mesmo que 247{,}352/1000=247{,}352} — nota: para evitar confusão: o valor em N·m é 247{,}352/1000=247{,}352} — vou manter a forma correta no resultado final: M\approx 247{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}.)

Passo 6

Calcular o ângulo de torção no ponto de aplicação (rotação medida a partir da extremidade esquerda até o ponto a):
  • A rotação no ponto de aplicação relativa à extremidade esquerda é
\varphi=\frac{T_1\,a}{GJ},
com T_1=M\frac{L-a}{L}. Já calculámos T_1 numericamente como
T_1=0{,}75\,M\approx 0{,}75\cdot247\,352\\ \text{N·mm}=185\,514\\ \text{N·mm}.
Agora
\varphi=\frac{185\,514\cdot 250}{76\,000\cdot 79\,506}.
Calculemos numericamente:
\text{numerador}=185\,514\cdot250=46\,378\,500,
\text{denominador}=76\,000\cdot79\,506=6\,042\,456\,000.
Portanto
\varphi=\frac{46\,378\,500}{6\,042\,456\,000}\approx 0{,}007677\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\phi_{\text{graus}}=\varphi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}007677\cdot\frac{180}{\pi}\approx 0{,}44^\circ.

Passo 7

Verificação rápida de ordem de grandeza e interpretação:
  • Se alguém tivesse usado a fórmula simples \tau_{\max}=M c/J ignorando o engaste nas duas extremidades, obteria M\approx185{,}5\\ \text{N·m}. O engaste e a compatibilidade das rotações fazem com que o momento de reação no segmento maior seja T_1=0{,}75M, de modo que o momento aplicado necessário para gerar a mesma tensão é maior, aqui M\approx247{,}4\\ \text{N·m}. Isso é importante: apoios fixos tornam o problema hiperestático e mudam as intensidades internas.

Resposta

M=247{,}4\\ \mathrm{N\cdot m}
\varphi=0{,}007677\\ \mathrm{rad}\approx 0{,}44^\circ

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