Uma seção circular sólida de diâmetro D pode soportar um torque máximo T . Se a área circular é multiplicada por 2,5 , qual dos valores abaixo se aproxima mais do máximo torque que a nova seção pode soportar:
(a) \sqrt{2} T
(b) 2 \sqrt{2} T
(c) 2 T
(d) 4 T

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma seção circular sólida de diâmetro D suporta um torque máximo T.
  • Mudança: a área da seção circular é multiplicada por 2{,}5.
  • Pergunta: qual valor entre as alternativas dadas se aproxima mais do novo torque máximo que essa nova seção pode suportar?
Informações relevantes que extraio do enunciado:
  • Área original A (de um círculo de diâmetro D) e nova área A' = 2{,}5\,A.
  • O torque máximo depende da geometria da seção (diâmetro/raio) e da resistência do material (tensão de escoamento ou tensão admissível), que aqui é mantida constante.

Passo 2

Entender a relação entre torque máximo e dimensões da seção (a parte teórica que precisamos).
  • Ao torsionar um eixo circular, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
\(\tau_{\max} = \dfrac{T\,r}{J}\),
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima admissível do material (fixa pelo material),
  • T é o torque aplicado,
  • r é o raio da seção (ou seja, r = D/2),
  • J é o momento polar de inércia da seção (também chamado de segundo momento polar).
  • Para uma seção circular maciça, a expressão de J em função do raio r é
\displaystyle J = \frac{\pi}{2}\,r^{4}.
(Equivalente é J=\dfrac{\pi}{32}D^{4} quando se usa o diâmetro.)
  • Se a tensão admissível \tau_{\max} é o que limita o torque, podemos reescrever a relação para o torque máximo admissível T_{\max}:
\displaystyle T_{\max} = \tau_{\max}\,\frac{J}{r}.
Substituindo J=\dfrac{\pi}{2}r^{4} obtemos
\displaystyle T_{\max} = \tau_{\max}\,\frac{\frac{\pi}{2}r^{4}}{r} = \tau_{\max}\,\frac{\pi}{2}\,r^{3}.
Portanto, mantendo o material (e assim \tau_{\max} constante), o torque máximo cresce proporcionalmente a r^{3}. Em termos do diâmetro:
\displaystyle T_{\max}\propto r^{3}\quad\Longrightarrow\quad T_{\max}\propto D^{3}.

Passo 3

Relacionar o fator de mudança da área com o fator de mudança do diâmetro e, então, com o torque.
  • A área de um círculo em função do diâmetro é
\displaystyle A=\frac{\pi}{4}D^{2}.
Se a área é multiplicada por 2{,}5, então
\displaystyle A' = 2{,}5\,A \quad\Rightarrow\quad \frac{\pi}{4}{D'}^{2} = 2{,}5\cdot\frac{\pi}{4}D^{2}.
Cancelando \dfrac{\pi}{4} dos dois lados,
\displaystyle {D'}^{2} = 2{,}5\,D^{2} \quad\Rightarrow\quad D' = \sqrt{2{,}5}\,D.
  • Como T_{\max}\propto D^{3}, o novo torque T' relaciona-se com T por
\displaystyle \frac{T'}{T} = \left(\frac{D'}{D}\right)^{3} = \bigl(\sqrt{2{,}5}\,\bigr)^{3} = (2{,}5)^{3/2}.
Calculemos numericamente:
\displaystyle (2{,}5)^{3/2} = 2{,}5\cdot\sqrt{2{,}5}\approx 2{,}5\cdot1{,}5811\approx 3{,}9528\approx 3{,}95.

Passo 4

Comparar com as alternativas e concluir de maneira prática.
  • As alternativas numéricas são aproximadamente:
    • (a) \sqrt{2}\approx1{,}41
    • (b) 2\sqrt{2}\approx2{,}83
    • (c) 2
    • (d) 4
  • O fator que encontramos é cerca de 3{,}95, que é muito próximo de 4. Portanto a alternativa que mais se aproxima é a (d).
Força, você já matou a parte mais chata — concentre-se em decorar que para eixo circular sólido T_{\max}\propto D^{3}; a partir daí qualquer alteração de área vira alteração de diâmetro por raiz quadrada e daí sobe ao cubo.

Resposta

(d) 4T

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