Uma seção circular sólida de diâmetro D pode soportar um torque máximo T . Se a área circular é multiplicada por 2,5 , qual dos valores abaixo se aproxima mais do máximo torque que a nova seção pode soportar:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma seção circular sólida de diâmetro
suporta um torque máximo . - Mudança: a área da seção circular é multiplicada por
. - Pergunta: qual valor entre as alternativas dadas se aproxima mais do novo torque máximo que essa nova seção pode suportar?
Informações relevantes que extraio do enunciado:
- Área original
(de um círculo de diâmetro ) e nova área . - O torque máximo depende da geometria da seção (diâmetro/raio) e da resistência do material (tensão de escoamento ou tensão admissível), que aqui é mantida constante.
Passo 2
Entender a relação entre torque máximo e dimensões da seção (a parte teórica que precisamos).
- Ao torsionar um eixo circular, a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima admissível do material (fixa pelo material), -
é o torque aplicado, -
é o raio da seção (ou seja, ), -
é o momento polar de inércia da seção (também chamado de segundo momento polar). -
Para uma seção circular maciça, a expressão de
em função do raio é
(Equivalente é
quando se usa o diâmetro.)
- Se a tensão admissível
é o que limita o torque, podemos reescrever a relação para o torque máximo admissível :
Substituindo
obtemos
Portanto, mantendo o material (e assim
constante), o torque máximo cresce proporcionalmente a
. Em termos do diâmetro:
Passo 3
Relacionar o fator de mudança da área com o fator de mudança do diâmetro e, então, com o torque.
- A área de um círculo em função do diâmetro é
Se a área é multiplicada por
, então
Cancelando
dos dois lados,
- Como
, o novo torque relaciona-se com por
Calculemos numericamente:
Passo 4
Comparar com as alternativas e concluir de maneira prática.
-
As alternativas numéricas são aproximadamente:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
- (a)
-
O fator que encontramos é cerca de
, que é muito próximo de . Portanto a alternativa que mais se aproxima é a (d).
Força, você já matou a parte mais chata — concentre-se em decorar que para eixo circular sólido
; a partir daí qualquer alteração de área vira alteração de diâmetro por raiz quadrada e daí sobe ao cubo.
Resposta
(d)