As vigas com um dos momentos de inércia muito grande em relação ao outro são muito sensíveis a inclinação da carga em relação ao eixo principal de carregamento (flexão oblíqua). Calcule a variação de tensão devida a uma inclinação de 2^{\circ} para uma carga \mathrm{P}=50 \mathrm{kN}. A viga tem comprimento \mathrm{L}=3,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados disponíveis (peguei estes números da imagem):
  • Pedem: calcular a variação de tensão devida a uma inclinação de \;2^\circ\; da carga \;P=50\\ \mathrm{kN}.
  • Dados (peguei da imagem):
    • \;P=50\\ \mathrm{kN}.
    • \;L=3{,}5\\ \mathrm{m}.
    • \;I_Y = 118{,}3\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4.
    • \;I_Z = 4520\times10^{4}\\ \mathrm{mm}^4.
    • \;h = 610\\ \mathrm{mm}.
    • \;b = 224\\ \mathrm{mm}.

Passo 2

Entendendo o que causa a “variação de tensão” aqui (aula rápida e sem drama).
  • Se a força estivesse perfeitamente vertical, haveria apenas um momento de flexão no plano forte (momento \,M_Y) e uma tensão de flexão associada dada pela fórmula clássica:
\sigma = \frac{M\;c}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão de flexão (em \mathrm{N/mm^2} ou \mathrm{MPa}),
  • \;M é o momento de flexão (em \mathrm{N\cdot mm}),
  • \;c é a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada (em \mathrm{mm}),
  • \;I é o momento de inércia adequado (em \mathrm{mm^4}).
  • Se a carga está inclinada de um pequeno ângulo \alpha, deve-se decompor \;P em duas componentes (pegando trigonometria básica):
P_z = P\cos\alpha \quad\text{(componente vertical)},
P_y = P\sin\alpha \quad\text{(componente horizontal)}.
A componente horizontal \;P_y produz um momento em torno do eixo fraco ( M_Z) que, por ter \;I_Z muito menor, pode gerar uma tensão suplementar significativa — é isso que chamamos de flexão oblíqua.
  • Vamos proceder assim:
    1. Converter unidades (tudo em \mathrm{N} e \mathrm{mm}).
    2. Calcular P_z e P_y.
    3. Calcular M_Y = P_z L e M_Z = P_y L.
    4. Calcular tensões de flexão máximas: pela componente forte (usar I_Y e c_z=h/2) e pela componente fraca (usar I_Z e c_y=b/2).
    5. A variação “devida à inclinação” será essencialmente a tensão adicional causada por P_y. Também mostrarei a pequena alteração da tensão principal devido a P_z\neq P.

Passo 3

Conversões e decomposição da carga (contas detalhadas).
  • Converter unidades:
    • \;P=50\\ \mathrm{kN}=50.000\\ \mathrm{N}.
    • \;L=3{,}5\\ \mathrm{m}=3500\\ \mathrm{mm}.
    • \;I_Y = 118{,}3\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4 = 1{,}183\times10^{9}\\ \mathrm{mm}^4 (peguei da imagem).
    • \;I_Z = 4520\times10^{4}\\ \mathrm{mm}^4 = 4{,}52\times10^{7}\\ \mathrm{mm}^4 (peguei da imagem).
    • \;c_z = h/2 = 610/2 = 305\\ \mathrm{mm} (peguei h da imagem).
    • \;c_y = b/2 = 224/2 = 112\\ \mathrm{mm} (peguei b da imagem).
  • Ângulo:
    • \;\alpha = 2^\circ.
    • \;\sin 2^\circ \approx 0{,}0348995,\qquad \cos 2^\circ \approx 0{,}9993908.
  • Componentes da força:
P_y = P\sin\alpha = 50.000\cdot 0{,}0348995 \approx 1.744{,}975\\ \mathrm{N}.
P_z = P\cos\alpha = 50.000\cdot 0{,}9993908 \approx 49.969{,}541\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Momentos fletores no extremo livre (momento = força × braço L).
M_Z = P_y\;L \approx 1.744{,}975\cdot 3500 \approx 6{.}107{,}411{,}8\\ \mathrm{N\cdot mm}.
M_Y = P_z\;L \approx 49.969{,}541\cdot 3500 \approx 174{.}893{,}393{,}5\\ \mathrm{N\cdot mm}.

Passo 5

Cálculo das tensões de flexão (cada componente separadamente) — usar a fórmula \sigma = \dfrac{M\,c}{I}.
  • Tensão causada pela componente horizontal (flexão no eixo fraco, efeito da inclinação) — esta é a “variação” mais importante:
\sigma_{\text{fraca}} = \frac{M_Z\;c_y}{I_Z} = \frac{6{.}107{,}411{,}8\cdot 112}{4{,}52\times10^{7}} \approx 15{,}13\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão causada pela componente vertical (flexão no eixo forte):
\sigma_{\text{forte}}(\alpha)=\frac{M_Y\;c_z}{I_Y} = \frac{174{.}893{,}393{,}5\cdot 305}{1{,}183\times10^{9}} \approx 45{,}08\\ \mathrm{MPa}.
  • Para referência: se a carga fosse perfeitamente vertical ( \alpha=0^\circ), a tensão forte seria
\sigma_{\text{forte}}(0)=\frac{(P\cdot L)\;c_z}{I_Y} = \frac{175{.}000{,}000\cdot 305}{1{,}183\times10^{9}} \approx 45{,}15\\ \mathrm{MPa}.
Logo a inclinação de 2^\circ altera a tensão forte em cerca de
\Delta\sigma_{\text{forte}} \approx 45{,}08 - 45{,}15 \approx -0{,}07\\ \mathrm{MPa},
ou seja, uma mudança muito pequena (praticamente desprezível).

Passo 6

Interpretação física e tensão máxima combinada.
  • A tensão adicional causada pela inclinação (a componente horizontal que gera flexão no eixo fraco) é \sigma_{\text{fraca}}\approx 15{,}13\\ \mathrm{MPa}. Essa é a variação relevante que mostra a sensibilidade da viga: um pequeno ângulo produz uma tensão considerável porque I_Z é muito menor que I_Y.
  • Se quisermos estimar as tensões máximas em um canto da seção (superposição linear das tensões devidas a cada flexão, assumindo sinais compatíveis), obtemos:
\sigma_{\max}\approx \sigma_{\text{forte}}(\alpha)+\sigma_{\text{fraca}}\approx 45{,}08+15{,}13\approx 60{,}21\\ \mathrm{MPa},
e no canto oposto:
\sigma_{\min}\approx \sigma_{\text{forte}}(\alpha)-\sigma_{\text{fraca}}\approx 45{,}08-15{,}13\approx 29{,}95\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

Aumento de tensão devido ao componente horizontal (efeito da inclinação de 2^\circ): \;15{,}13\\ \mathrm{MPa}.
Variação da tensão principal (eixo forte) causada pela inclinação: -0{,}07\\ \mathrm{MPa} (redução muito pequena).
Tensões extremas combinadas aproximadas nos cantos: \;60{,}21\\ \mathrm{MPa} e \;29{,}95\\ \mathrm{MPa}.

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