Um cilindro de seção coroa circular tem diâmetro exterior D = 20 mm e interior \mathrm{d}=16 \mathrm{~mm} é solicitado por um esforço normal de 10 kN e um momento torçor de 60 N.m. ( 3,0 pts)
a) Determinar as tensões no ponto A.
b) Verificar neste ponto os critérios de resistência de tensão normal máxima e de tensão cisalhante máxima sabendo que as tensões admissíveis são 160 MPa e 80 MPa respectivamente.

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro de seção coroa circular (anel) com:
  • diâmetro exterior D=20\\ \mathrm{mm},
  • diâmetro interior d=16\\ \mathrm{mm},
  • esforço normal (força axial) N=10\\ \mathrm{kN}=10000\\ \mathrm{N},
  • momento torçor T=60\\ \mathrm{N\cdot m}=60000\\ \mathrm{N\cdot mm}.
O que é pedido:
a) Determinar as tensões no ponto A (ponto na face externa do anel, ou seja na fibra externa).
b) Verificar, nesse ponto, os critérios de resistência: critério da tensão normal máxima (tensão admissível 160\\ \mathrm{MPa}) e critério da tensão cisalhante máxima (tensão admissível 80\\ \mathrm{MPa}).

Passo 2

Área da seção transversal (área do anel). A fórmula da área de um anel em função dos diâmetros é
A=\frac{\pi}{4}\left(D^{2}-d^{2}\right).
Substituindo os números:
A=\frac{\pi}{4}\left(20^{2}-16^{2}\right)=\frac{\pi}{4}\cdot144=36\pi\\ \mathrm{mm^{2}}\approx113{,}097\\ \mathrm{mm^{2}}.
Explicação curta: essa é a área disponível para suportar a força axial; é só diferença das áreas dos dois círculos.

Passo 3

Tensão normal axial (uniforme) devido à força N. Fórmula:
\sigma_{\text{axial}}=\frac{N}{A},
onde N é a força axial (em N) e A a área (em \mathrm{mm^{2}} para obter \mathrm{N/mm^{2}}=\mathrm{MPa}). Calculando:
\sigma_{\text{axial}}=\frac{10000}{36\pi}\\ \mathrm{N/mm^{2}}\approx88{,}50\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: essa é a tensão normal (tração) que age axialmente e é constante na seção.

Passo 4

Momento polar de inércia (para torção) do anel. Usando diâmetros:
J=\frac{\pi}{32}\left(D^{4}-d^{4}\right).
Calculando:
D^{4}=20^{4}=160000,\qquad d^{4}=16^{4}=65536,
J=\frac{\pi}{32}(160000-65536)=\frac{\pi}{32}\cdot94464=2952\pi\\ \mathrm{mm^{4}}\approx9275{,}02\\ \mathrm{mm^{4}}.
Comentário: J mede a resistência geométrica da seção à torção.

Passo 5

Tensão de cisalhamento na fibra externa causada pela torção. Fórmula (distribuição linear no raio):
\tau(r)=\frac{T\,r}{J},
onde r é a distância ao centro (para a fibra externa r_{o}=D/2=10\\ \mathrm{mm}). Assim:
\tau_{\text{externa}}=\frac{60000\cdot10}{2952\pi}\\ \mathrm{N/mm^{2}}\approx64{,}71\\ \mathrm{MPa}.
Interpretação: é o cisalhamento tangencial máximo na superfície externa devido ao torque. Convertemos T para \mathrm{N\cdot mm} para manter consistência das unidades.

Passo 6

Estado de tensões no ponto A. Tomando o eixo x ao longo do eixo do cilindro (axial) e y tangencial na seção:
  • componente normal axial: \sigma_{x}=\sigma_{\text{axial}}\approx88{,}50\\ \mathrm{MPa},
  • componente normal perpendicular na direção tangencial: \sigma_{y}=0 (nenhuma tensão normal tangencial neste carregamento),
  • componente de cisalhamento de plano: \tau_{xy}=\tau_{\text{externa}}\approx64{,}71\\ \mathrm{MPa}.
Explicação: a força axial dá só tensão normal; a torção gera cisalhamento que aparece como \tau_{xy} no plano que envolve o eixo axial.

Passo 7

Cálculo das tensões principais (autovalores do tensor plano 2D). Fórmula geral (com \sigma_{y}=0):
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Substituindo \sigma_{y}=0:
\text{média}=\frac{\sigma_{x}}{2}\approx44{,}2478\\ \mathrm{MPa},é
\text{raio}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}} =\sqrt{44{,}2478^{2}+64{,}710^{2}}\approx78{,}41\\ \mathrm{MPa}.
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\sigma_{1}=\text{média}+\text{raio}\approx44{,}2478+78{,}41\approx122{,}65\\ \mathrm{MPa},é
\sigma_{2}=\text{média}-\text{raio}\approx44{,}2478-78{,}41\approx-34{,}16\\ \mathrm{MPa}.é
Interpretação: \sigma_{1} é a maior tensão principal (tração) e \sigma_{2} é compressiva.

Passo 8

Tensão de cisalhamento máxima (critério de máxima tensão cisalhante — máxima em plano) ou componente de cisalhamento principal:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{2}=\text{raio}\approx78{,}41\\ \mathrm{MPa}.
Observação: esse \tau_{\max} é a maior tensão de cisalhamento no ponto, considerando o efeito combinado de axial + torção.

Passo 9

Verificação dos critérios com as tensões admissíveis fornecidas:
  • Critério da tensão normal máxima: comparar \sigma_{1} com admissível 160\\ \mathrm{MPa}. Temos \sigma_{1}\approx122{,}65\\ \mathrm{MPa}<160\\ \mathrm{MPa}. Conclusão: atende ao critério (seguro).
  • Critério da tensão cisalhante máxima: comparar \tau_{\max} com admissível 80\\ \mathrm{MPa}. Temos \tau_{\max}\approx78{,}41\\ \mathrm{MPa}<80\\ \mathrm{MPa}. Conclusão: também atende ao critério (seguro), porém com margem pequena (cerca de 1{,}59\\ \mathrm{MPa}).

Passo 10

Resumo numérico final (para conferir rápido): tensões no ponto A e verificação de segurança. Você pode usar esses números diretamente na prova.

Resposta

(a) \sigma_{\text{axial}}=88{,}50\\ \mathrm{MPa};\quad \tau_{\text{torsão}}=64{,}71\\ \mathrm{MPa};\quad \sigma_{1}=122{,}65\\ \mathrm{MPa};\quad \sigma_{2}=-34{,}16\\ \mathrm{MPa};\quad \tau_{\max}=78{,}41\\ \mathrm{MPa}.ã
(b) Critério da tensão normal máxima: satisfeito ( \sigma_{1}=122{,}65\\ \mathrm{MPa}<160\\ \mathrm{MPa}).
Critério da tensão cisalhante máxima: satisfeito ( \tau_{\max}=78{,}41\\ \mathrm{MPa}<80\\ \mathrm{MPa}).

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