Um cilindro de seção coroa circular tem diâmetro exterior D = 20 mm e interior
é solicitado por um esforço normal de 10 kN e um momento torçor de 60 N.m. ( 3,0 pts)
a) Determinar as tensões no ponto
.
b) Verificar neste ponto os critérios de resistência de tensão normal máxima e de tensão cisalhante máxima sabendo que as tensões admissíveis são 160 MPa e 80 MPa respectivamente.
a) Determinar as tensões no ponto
b) Verificar neste ponto os critérios de resistência de tensão normal máxima e de tensão cisalhante máxima sabendo que as tensões admissíveis são 160 MPa e 80 MPa respectivamente.
Passo 1
O enunciado nos dá um cilindro de seção coroa circular (anel) com:
- diâmetro exterior
, - diâmetro interior
, - esforço normal (força axial)
, - momento torçor
.
O que é pedido:
a) Determinar as tensões no ponto (ponto na face externa do anel, ou seja na fibra externa).
b) Verificar, nesse ponto, os critérios de resistência: critério da tensão normal máxima (tensão admissível ) e critério da tensão cisalhante máxima (tensão admissível
).
a) Determinar as tensões no ponto
b) Verificar, nesse ponto, os critérios de resistência: critério da tensão normal máxima (tensão admissível
Passo 2
Área da seção transversal (área do anel). A fórmula da área de um anel em função dos diâmetros é
Substituindo os números:
Explicação curta: essa é a área disponível para suportar a força axial; é só diferença das áreas dos dois círculos.
Passo 3
Tensão normal axial (uniforme) devido à força
. Fórmula:
onde
é a força axial (em N) e
a área (em
para obter
). Calculando:
Interpretação: essa é a tensão normal (tração) que age axialmente e é constante na seção.
Passo 4
Momento polar de inércia (para torção) do anel. Usando diâmetros:
Calculando:
Comentário:
mede a resistência geométrica da seção à torção.
Passo 5
Tensão de cisalhamento na fibra externa causada pela torção. Fórmula (distribuição linear no raio):
onde
é a distância ao centro (para a fibra externa
). Assim:
Interpretação: é o cisalhamento tangencial máximo na superfície externa devido ao torque. Convertemos
para
para manter consistência das unidades.
Passo 6
Estado de tensões no ponto
. Tomando o eixo
ao longo do eixo do cilindro (axial) e
tangencial na seção:
- componente normal axial:
, - componente normal perpendicular na direção tangencial:
(nenhuma tensão normal tangencial neste carregamento), - componente de cisalhamento de plano:
.
Explicação: a força axial dá só tensão normal; a torção gera cisalhamento que aparece como
no plano que envolve o eixo axial.
Passo 7
Cálculo das tensões principais (autovalores do tensor plano 2D). Fórmula geral (com
):
Substituindo
:
Logo
Interpretação:
é a maior tensão principal (tração) e
é compressiva.
Passo 8
Tensão de cisalhamento máxima (critério de máxima tensão cisalhante — máxima em plano) ou componente de cisalhamento principal:
Observação: esse
é a maior tensão de cisalhamento no ponto, considerando o efeito combinado de axial + torção.
Passo 9
Verificação dos critérios com as tensões admissíveis fornecidas:
- Critério da tensão normal máxima: comparar
com admissível . Temos . Conclusão: atende ao critério (seguro). - Critério da tensão cisalhante máxima: comparar
com admissível . Temos . Conclusão: também atende ao critério (seguro), porém com margem pequena (cerca de ).
Passo 10
Resumo numérico final (para conferir rápido): tensões no ponto
e verificação de segurança. Você pode usar esses números diretamente na prova.
Resposta
(a)
(b) Critério da tensão normal máxima: satisfeito ( ).
Critério da tensão cisalhante máxima: satisfeito ( ).
(b) Critério da tensão normal máxima: satisfeito (
Critério da tensão cisalhante máxima: satisfeito (