Uma barra de 0,750 m gira com velocidade angular tal que um ponto na sua extremidade possui velocidade linear igual a de 0,200 m/s. Garante que nesse ponto a aceleração radial é o máximo. Determine a frequência da barra, em rotações por minuto. Determine também o momento de inércia do sistema em relação a um eixo perpendicular à barra passando (a) pelo centro da barra e (b) por um ponto a um quarto do comprimento a partir de uma das extremidades.

Passo 1

O enunciado nos dá uma barra de comprimento L = 0,750,m que gira com velocidade angular omega tal que a velocidade linear na sua extremidade é
v = 0,200 m/s
Precisamos achar a frequência de rotação em rotações por minuto (rpm) e depois determinar o momento de inércia da barra em dois eixos perpendiculares a ela:
(a) pelo centro da barra,
(b) por um ponto situado a um quarto do comprimento a partir de uma extremidade.

Passo 2

Como a extremidade está a distância r=L do eixo de rotação, a relação entre velocidade linear e velocidade angular é
v = omega,L
Logo
omega = vL = 0,2000,750 =0,2667 s^-1

Passo 3

A frequência de rotação em hertz é
f = omega2pi = 0,26672pi approx0,04244 Hz
Convertendo para rotações por minuto:
frm rpm = f times 60 approx 0,04244times 60approx2,546 rpm

Passo 4

O momento de inércia de uma barra fina de massa m e comprimento L em torno de um eixo perpendicular que passa pelo seu centro é
Irm centro = 112,m,L^2
Substituindo L=0,750,m, fica
Irm centro = 112,m,(0,750)^2 =0,04688,ml[kgcdot m^2r]

Passo 5

Para o eixo que fica a uma distância d do centro, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
I = Irm centro + m,d^2
Aqui o eixo está a L/4 de uma extremidade, portanto a partir do centro a distância é
d = l|L2-L4r| = L4 = 0,1875 m
Assim
I = 112mL^2 + ml(L4r)^2 = mL^2l(112+116r) = 748,m,L^2
Numericamente, com L=0,750,m,
I = 748,m,(0,750)^2 approx0,08203,ml[kgcdot m^2r]

Resposta

Frequência: fapprox2,55,rpm.
(a) Irm centro=tfrac112mL^2approx0,04688,m,kg cdot m^2.
(b) Irm eixo=tfrac748mL^2approx0,08203,m,kg cdot m^2.

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