9.53 •CALC Use a Equação 9.20 para calcular o momento de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa M, em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo seu centro.
9.54 • CALC Use a Equação 9.20 para calcular o momento de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade.

Passo 1

O enunciado pede para calcular, usando a Equação 9.20
I = integral r^2,dm,
o momento de inércia de
– um disco maciço e uniforme de raio R e massa M em torno de um eixo perpendicular ao plano do disco pelo centro;
– uma barra delgada de comprimento L e massa M em torno de um eixo perpendicular à barra na sua extremidade.
Vamos modelar cada corpo definindo uma densidade apropriada ( sigma para o disco, lambda para a barra), expressar dm e integrar.

Passo 2

Disco maciço uniforme:
A densidade superficial é
sigma = Mpi R^2
Escolhemos um elemento anelar de raio r e espessura dr. A área desse anel é
dA = 2pi r,dr,
portanto
dm = sigma,dA = Mpi R^2;2pi r,dr = 2MR^2,r,dr

Passo 3

Aplicando I=integral r^2,dm ao disco, integramos de r=0 até r=R:
Idisco = integral0^R r^2,l(2MR^2,r,drr) = 2MR^2integral0^R r^3,dr = 2MR^2;R^44 = 12,M,R^2

Passo 4

Barra delgada:
A densidade linear é
lambda = ML
Tomamos um elemento de comprimento dx a uma distância x da extremidade onde está o eixo. Então
dm = lambda,dx = ML,dx

Passo 5

Aplicando I=integral x^2,dm à barra, integramos de x=0 até x=L:
Ibarra = integral0^L x^2,l(ML,dxr) = MLintegral0^L x^2,dx = ML;L^33 = 13,M,L^2

Resposta

9.53) I = tfrac12,M,R^2
9.54) I = tfrac13,M,L^2

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