Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá uma barra de aço com resistência ao escoamento mínima igual a
e pede que eu determine os fatores de segurança usando duas teorias para o estado de tensão plana dado. As informações fornecidas são:
,
NÃO é a mesma coisa — aqui a notação do enunciado usa
para o limite de escoamento; para evitar confusão, vou chamar o limite de escoamento de
.
As tensões do estado plano são:
,
(estas são as tensões no plano) e
(pressuposição usual de tensão plana).
As perguntas que preciso responder:
As tensões do estado plano são:
As perguntas que preciso responder:
- Determinar o fator de segurança pela teoria da energia de distorção (von Mises).
- Determinar o fator de segurança pela teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).
Passo 2
Primeiro preciso obter as tensões principais do estado de tensão. Para um estado plano com
,
e
, note que as duas tensões no plano são iguais. Isso significa que duas tensões principais coincidem. Logo posso tomar, sem necessidade de calcular autovalores complexos:
,
,
.
Explicação rápida: as tensões principais são os valores próprios da matriz de tensões; quando e não há cisalhamento no plano, uma das direções principais tem valor igual a essas tensões e a outra principal é a direção perpendicular com
.
Explicação rápida: as tensões principais são os valores próprios da matriz de tensões; quando
Passo 3
Teoria da energia de distorção (von Mises): apresento a fórmula e explico cada termo.
A tensão equivalente de von Mises em 3D é dada por
A tensão equivalente de von Mises
Aqui
são as tensões principais. A interpretação:
é uma medida da energia de distorção no material; a comparação de
com o limite de escoamento em tração dá o critério de escoamento von Mises.
Agora calculo passo a passo usando ,
,
(unidades em MPa):
Agora calculo passo a passo usando
Elevando ao quadrado e somando:
Somando e aplicando o fator
:
Tirando raiz:
O fator de segurança pela teoria de von Mises é a razão entre o limite de escoamento
e a tensão equivalente:
Passo 4
Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca): explico a fórmula e a ideia.
Tresca usa a máxima diferença entre tensões principais: o critério de escoamento em termos de cisalhamento máximo é que o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento atinge o valor de escoamento em cisalhamento. Para tensões principais
,
Tresca usa a máxima diferença entre tensões principais: o critério de escoamento em termos de cisalhamento máximo é que o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento
O escoamento em cisalhamento correspondente (tensão de cisalhamento na condição de escoamento) é
porque, para um ensaio de tração simples, a máxima diferença entre tensões principais é
e
.
Calculo as diferenças principais (já fiz no passo anterior):
.
A máxima diferença é , então
Calculo as diferenças principais (já fiz no passo anterior):
A máxima diferença é
A tensão de escoamento em cisalhamento é
Assim o fator de segurança segundo Tresca é
Observação: outra forma comum de escrever o fator segundo Tresca é
. Aqui
, então
, que é o mesmo resultado.
Passo 5
Resumo e interpretação curta (amizade e incentivo): ambos os critérios dão o mesmo fator de segurança
para este caso particular porque as duas tensões no plano são iguais, o que torna o estado de tensão simples. Isso significa que, segundo qualquer um dos critérios pedidos, o material está longe de escoar (fator de segurança razoavelmente alto). Vai dar certo na prova — lembra de mostrar passo a passo como calculei as diferenças das tensões principais e aplicar as fórmulas.