Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
(a) \sigma_{x}=100 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=100 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de aço com resistência ao escoamento mínima igual a \sigma_{y}=350\\ \mathrm{MPa} e pede que eu determine os fatores de segurança usando duas teorias para o estado de tensão plana dado. As informações fornecidas são:
\sigma_{x}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y\,(planta)}=\sigma_{y\,(enunciado)} NÃO é a mesma coisa — aqui a notação do enunciado usa \sigma_{y} para o limite de escoamento; para evitar confusão, vou chamar o limite de escoamento de \sigma_{e}=350\\ \mathrm{MPa}.
As tensões do estado plano são:
\sigma_{x}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=100\\ \mathrm{MPa} (estas são as tensões no plano) e \sigma_{z}=0\\ \mathrm{MPa} (pressuposição usual de tensão plana).
As perguntas que preciso responder:
  • Determinar o fator de segurança pela teoria da energia de distorção (von Mises).
  • Determinar o fator de segurança pela teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca).

Passo 2

Primeiro preciso obter as tensões principais do estado de tensão. Para um estado plano com \sigma_{x}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=100\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{z}=0\\ \mathrm{MPa}, note que as duas tensões no plano são iguais. Isso significa que duas tensões principais coincidem. Logo posso tomar, sem necessidade de calcular autovalores complexos:
\sigma_{1}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{2}=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{3}=0\\ \mathrm{MPa}.
Explicação rápida: as tensões principais são os valores próprios da matriz de tensões; quando \sigma_{x}=\sigma_{y} e não há cisalhamento no plano, uma das direções principais tem valor igual a essas tensões e a outra principal é a direção perpendicular com \sigma_{3}=0.

Passo 3

Teoria da energia de distorção (von Mises): apresento a fórmula e explico cada termo.
A tensão equivalente de von Mises \sigma_{v} em 3D é dada por
\sigma_{v}=\sqrt{\tfrac{1}{2}\big[(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}\big]}.
Aqui \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3} são as tensões principais. A interpretação: \sigma_{v} é uma medida da energia de distorção no material; a comparação de \sigma_{v} com o limite de escoamento em tração dá o critério de escoamento von Mises.
Agora calculo passo a passo usando \sigma_{1}=100, \sigma_{2}=100, \sigma_{3}=0 (unidades em MPa):
\sigma_{1}-\sigma_{2}=100-100=0,
\sigma_{2}-\sigma_{3}=100-0=100,
\sigma_{3}-\sigma_{1}=0-100=-100.
Elevando ao quadrado e somando:
(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}=0^{2}=0,
(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}=100^{2}=10000,
(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}=(-100)^{2}=10000.
Somando e aplicando o fator \tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2}\big[0+10000+10000\big]=\tfrac{1}{2}\cdot 20000=10000.
Tirando raiz:
\sigma_{v}=\sqrt{10000}=100\\ \mathrm{MPa}.
O fator de segurança pela teoria de von Mises é a razão entre o limite de escoamento \sigma_{e} e a tensão equivalente:
n_{\text{von Mises}}=\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{v}}=\frac{350}{100}=3{,}5.

Passo 4

Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca): explico a fórmula e a ideia.
Tresca usa a máxima diferença entre tensões principais: o critério de escoamento em termos de cisalhamento máximo é que o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento \tau_{\max} atinge o valor de escoamento em cisalhamento. Para tensões principais \sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3},
\tau_{\max}=\tfrac{1}{2}\max\big(|\sigma_{1}-\sigma_{2}|,|\sigma_{2}-\sigma_{3}|,|\sigma_{3}-\sigma_{1}|\big).
O escoamento em cisalhamento correspondente (tensão de cisalhamento na condição de escoamento) é \tau_{e}=\tfrac{1}{2}\sigma_{e} porque, para um ensaio de tração simples, a máxima diferença entre tensões principais é \sigma_{e}-0=\sigma_{e} e \tau=\tfrac{1}{2}\sigma.
Calculo as diferenças principais (já fiz no passo anterior):
|\sigma_{1}-\sigma_{2}|=0,\; |\sigma_{2}-\sigma_{3}|=100,\; |\sigma_{3}-\sigma_{1}|=100.
A máxima diferença é 100\\ \mathrm{MPa}, então
\tau_{\max}=\tfrac{1}{2}\cdot 100=50\\ \mathrm{MPa}.
A tensão de escoamento em cisalhamento é
\tau_{e}=\tfrac{1}{2}\sigma_{e}=\tfrac{1}{2}\cdot 350=175\\ \mathrm{MPa}.
Assim o fator de segurança segundo Tresca é
n_{\text{Tresca}}=\frac{\tau_{e}}{\tau_{\max}}=\frac{175}{50}=3{,}5.
Observação: outra forma comum de escrever o fator segundo Tresca é n=\dfrac{\sigma_{e}}{\sigma_{1}-\sigma_{3}}. Aqui \sigma_{1}-\sigma_{3}=100, então n=\dfrac{350}{100}=3{,}5, que é o mesmo resultado.

Passo 5

Resumo e interpretação curta (amizade e incentivo): ambos os critérios dão o mesmo fator de segurança 3{,}5 para este caso particular porque as duas tensões no plano são iguais, o que torna o estado de tensão simples. Isso significa que, segundo qualquer um dos critérios pedidos, o material está longe de escoar (fator de segurança razoavelmente alto). Vai dar certo na prova — lembra de mostrar passo a passo como calculei as diferenças das tensões principais e aplicar as fórmulas.

Resposta

\text{Energia de distorção (von Mises): } n=3,5çã\n \text{Tensão de cisalhamento máxima (Tresca): } n=3,5ãá

Exercícios relacionados