Determinar, para o estado de tensões indicado, a tensão de cisalhamento máxima quando:
\sigma_{y}=14 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de cisalhamento máxima para o estado de tensões mostrado quando \sigma_{y}=14\\ \mathrm{MPa}.
Dados extraídos da imagem: na face com normal ao eixo x (face direita) há uma tensão normal apontando para fora indicada como \(96{,}5\\ \mathrm{MPa}) — portanto \sigma_{x}=96{,}5\\ \mathrm{MPa} — e, na mesma face, uma componente de cisalhamento vertical indicada como \(55{,}2\\ \mathrm{MPa}). Essa componente é a tensão de cisalhamento sobre a face x no sentido y, ou seja \tau_{xy}=55{,}2\\ \mathrm{MPa}.
Observação de equilíbrio: na face com normal em y a componente correspondente é \tau_{yx}=-\tau_{xy}, mas para calcular a tensão de cisalhamento máxima usamos \tau_{xy} conforme acima.
Resumo dos dados:
\sigma_{x}=96{,}5\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_{y}=14\\ \mathrm{MPa},\qquad \tau_{xy}=55{,}2\\ \mathrm{MPa}.

Passo 2

Escolha do método e fórmula principal (explicação didática): para um estado de tensão plano ( x\!-\!y) a tensão de cisalhamento máxima em qualquer plano do material é igual ao raio de Círculo de Mohr. A fórmula direta para esse raio (que é a tensão de cisalhamento máxima) é
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\dfrac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Aqui:
  • \sigma_{x} é a tensão normal na direção x (positiva em tração),
  • \sigma_{y} é a tensão normal na direção y,
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento na face normal a x na direção y.
    Breve motivação: a combinação geométrica acima vem de escrever as componentes no círculo de Mohr; (\sigma_{x}-\sigma_{y})/2 é a abscissa do centro relativo e \tau_{xy} é a ordenada no ponto correspondente à face x; o raio do círculo é a distância desse ponto ao centro, que corresponde à máxima tensão de cisalhamento.

Passo 3

Calcular a média e a meia-diferença das tensões normais (passo intermediário útil):
\text{média } \sigma_{m}=\dfrac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\dfrac{96{,}5+14}{2}=\dfrac{110{,}5}{2}=55{,}25\\ \mathrm{MPa}.é
\text{meia-diferença } \dfrac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}=\dfrac{96{,}5-14}{2}=\dfrac{82{,}5}{2}=41{,}25\\ \mathrm{MPa}.ç

Passo 4

Aplicar a fórmula do raio / tensão de cisalhamento máxima e desenvolver as contas passo a passo:
\tau_{\max}=\sqrt{\left(41{,}25\right)^{2}+\left(55{,}2\right)^{2}}.
Calcular os quadrados:
\left(41{,}25\right)^{2}=1701{,}5625, \qquad \left(55{,}2\right)^{2}=3047{,}04.
Somar:
1701{,}5625+3047{,}04=4748{,}6025.
Raiz quadrada:
\tau_{\max}=\sqrt{4748{,}6025}\approx 68{,}93\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Interpretação final e observações práticas: \tau_{\max} calculada acima é a maior tensão de cisalhamento que aparece em algum plano do elemento (para o caso de tensão plana). Em provas, basta aplicar a fórmula do passo 2 e calcular como fizemos; se pedirem também as tensões principais ou a orientação das direções de máximo cisalhamento, podemos obter \sigma_{1,2}=\sigma_{m}\pm\tau_{\max} e ângulos relativos a partir das fórmulas do círculo de Mohr.

Resposta

\;68{,}93\\ \mathrm{MPa}

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