Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
Informações dadas e observações imediatas:
- A base é
e estamos aproximando de pela direita, então . - O expoente é
, que tende a quando . - Portanto a forma limite é do tipo
, que é uma indeterminação — não dá para concluir o valor só por olhar.
Passo 2
Transformação útil (por que?): quando a expressão tem a variável tanto na base quanto no expoente, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Isso facilita usar limites. Assim, definimos
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (isto é permitido para
), obtemos
Estratégia: calcular
. Se esse limite existir e for igual a
, então, pela continuidade da função exponencial, teremos
Portanto foquemos em
.
Passo 3
Reescrevemos o produto para usar um fato conhecido sobre
. Temos
Explicação das peças:
- O limite
. Isso é um limite básico de trigonometria: para ângulos pequenos, é aproximado por . - Assim, se conseguirmos achar
, multiplicamos esse limite por (o limite de ) para obter o limite desejado.
Passo 4
Calcular
. Este é um limite padrão do tipo
. Reescrevemos como quociente para aplicar L’Hôpital:
Agora, quando
, temos
e
, portanto a forma é do tipo
(ou em módulo
), então podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a
:
-
, -
.
Aplicando L’Hôpital:
Logo
Passo 5
Voltemos ao produto da Passo 3. Sabendo que
e que
, pelo teorema do produto de limites temos
Portanto
.
Passo 6
Como
e a exponencial é contínua, concluímos
Intuição rápida: para pequenos
,
, então
e já vimos que
, então a expressão tende a
. Por exemplo numérico:
, já bem perto de
.
Resposta
1