\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to 0^{+}} x^{\operatorname{sen} x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A base é x e estamos aproximando x de 0 pela direita, então x\to 0^{+}.
  • O expoente é \operatorname{sen} x, que tende a 0 quando x\to 0.
  • Portanto a forma limite é do tipo 0^{0}, que é uma indeterminação — não dá para concluir o valor só por olhar.

Passo 2

Transformação útil (por que?): quando a expressão tem a variável tanto na base quanto no expoente, é comum tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Isso facilita usar limites. Assim, definimos
y = x^{\operatorname{sen} x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados (isto é permitido para x>0), obtemos
\ln y = \operatorname{sen} x \cdot \ln x.
Estratégia: calcular \lim_{x\to 0^+} \ln y. Se esse limite existir e for igual a L, então, pela continuidade da função exponencial, teremos
\lim_{x\to 0^+} y = \lim_{x\to 0^+} e^{\ln y} = e^{L}.
Portanto foquemos em \lim_{x\to 0^+} \operatorname{sen} x \cdot \ln x.

Passo 3

Reescrevemos o produto para usar um fato conhecido sobre \operatorname{sen} x. Temos
\operatorname{sen} x \cdot \ln x = \biggl(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\biggr)\cdot (x\ln x).
Explicação das peças:
  • O limite \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1. Isso é um limite básico de trigonometria: para ângulos pequenos, \operatorname{sen} x é aproximado por x.
  • Assim, se conseguirmos achar \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x, multiplicamos esse limite por 1 (o limite de \operatorname{sen} x/x) para obter o limite desejado.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x. Este é um limite padrão do tipo 0\cdot(-\infty). Reescrevemos como quociente para aplicar L’Hôpital:
x\ln x = \frac{\ln x}{1/x}.
Agora, quando x\to 0^+, temos \ln x \to -\infty e 1/x \to +\infty, portanto a forma é do tipo \frac{-\infty}{+\infty} (ou em módulo \infty/\infty), então podemos aplicar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador em relação a x:
  • \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x},
  • \dfrac{d}{dx}(1/x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim_{x\to 0^+} -x = 0.
Logo
\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0.

Passo 5

Voltemos ao produto da Passo 3. Sabendo que \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 e que \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x=0, pelo teorema do produto de limites temos
\lim_{x\to 0^+} \operatorname{sen} x\cdot \ln x = 1\cdot 0 = 0.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to 0^+} \ln y = 0.

Passo 6

Como \ln y\to 0 e a exponencial é contínua, concluímos
\lim_{x\to 0^+} y = \lim_{x\to 0^+} x^{\operatorname{sen} x} = e^{0} = 1.
Intuição rápida: para pequenos x, \operatorname{sen} x\approx x, então x^{\operatorname{sen} x}\approx x^{x}=e^{x\ln x} e já vimos que x\ln x\to 0, então a expressão tende a e^{0}=1. Por exemplo numérico: 0{,}001^{\operatorname{sen}(0{,}001)}\approx 0{,}001^{0{,}001}\approx 0{,}993, já bem perto de 1.

Resposta

1

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