Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{10} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
y''-2y'+y = x^{10} e^{x}\cos x.
Informações dadas e objetivo:
  • A equação é linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo x^{10} e^{x}\cos x.
  • Queremos a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então a solução terá duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Montamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^2-2r+1=0.
Resolvendo:
r^2-2r+1=(r-1)^2=0 \quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para raiz real dupla r=1, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=(C_1+C_2 x)e^{x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Explico por quê: para equações lineares com raízes repetidas da característica a solução tem os termos e^{rx} e x e^{rx}.

Passo 3

Fazer uma substituição que simplifica muito o lado esquerdo: coloque
y(x)=e^{x}u(x).
Agora calculamos y' e y'' em termos de u:
y'=e^{x}(u'+u),
y''=e^{x}(u''+2u'+u).
Substituindo na equação original:
y''-2y'+y = e^{x}(u''+2u'+u) -2e^{x}(u'+u) + e^{x}u.
Colocando e^{x} em evidência e simplificando os termos:
y''-2y'+y = e^{x}\bigl(u''+2u'+u -2u' -2u + u\bigr) = e^{x}u''.
Portanto a equação original transforma-se em
e^{x}u'' = x^{10} e^{x}\cos x.
Cancelando e^{x} (sempre positivo, não zera):
u''(x)=x^{10}\cos x.
Esta é uma grande simplificação: transformamos um operador (D-1)^2 sobre y numa equação simples de segunda derivada para u.

Passo 4

Resolver u''(x)=x^{10}\cos x por integração direta. Integramos uma vez:
u'(x)=C_1 + \int_{0}^{x} s^{10}\cos s\,ds,
onde C_1 é constante de integração (a escolha do limite inferior 0 é conveniência; qualquer constante será absorvida nas constantes finais). Integramos novamente:
u(x)=C_2 + C_1 x + \int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t} s^{10}\cos s\,ds\right)dt,
com outra constante C_2.

Passo 5

Simplificar a expressão dupla de integração usando troca de ordem (ou fórmula conhecida de integrais iteradas). Para qualquer função g,
\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t} g(s)\,ds\right)dt = \int_{0}^{x} (x-s)\,g(s)\,ds.
Aplicando com g(s)=s^{10}\cos s obtemos
\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{t} s^{10}\cos s\,ds\right)dt = \int_{0}^{x} (x-s)s^{10}\cos s\,ds.
(Se quiser ver por que: desenhe o triângulo de integração no plano s,t e troque a ordem; ou diferencie em x para verificar a igualdade.)
Logo
u(x)=C_2 + C_1 x + \int_{0}^{x} (x-s)\,s^{10}\cos s\,ds.

Passo 6

Voltar à variável original y=e^{x}u(x). Multiplicando por e^{x}:
y(x)=e^{x}\Bigl(C_2 + C_1 x + \int_{0}^{x} (x-s)\,s^{10}\cos s\,ds\Bigr).
Renomeando as constantes (por convenção A,B ou mantendo C_1,C_2) temos a solução geral. Observação didática: a integral definida \int_{0}^{x} (x-s)s^{10}\cos s\,ds é um termo particular bem definido; poderia também ser expandida por partes repetidas para escrever como combinações de polinômios multiplicando \sin x e \cos x, mas isso seria longo (muitas iterações). A forma convolucional apresentada é compacta, correta e apropriada para prova/avaliação.

Resposta

y(x)=e^{x}\Biggl(C_{2}+C_{1}x+\int_{0}^{x}(x-s)\,s^{10}\cos s\,ds\Biggr).

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