Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem
Informações dadas e objetivo:
- A equação é linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo
. - Queremos a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular. - Não há condições iniciais fornecidas, então a solução terá duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Montamos a equação característica substituindo
:
Resolvendo:
Para raiz real dupla
, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Explico por quê: para equações lineares com raízes repetidas da característica a solução tem os termos
e
.
Passo 3
Fazer uma substituição que simplifica muito o lado esquerdo: coloque
Agora calculamos
e
em termos de
:
Substituindo na equação original:
Colocando
em evidência e simplificando os termos:
Portanto a equação original transforma-se em
Cancelando
(sempre positivo, não zera):
Esta é uma grande simplificação: transformamos um operador
sobre
numa equação simples de segunda derivada para
.
Passo 4
Resolver
por integração direta. Integramos uma vez:
onde
é constante de integração (a escolha do limite inferior
é conveniência; qualquer constante será absorvida nas constantes finais). Integramos novamente:
com outra constante
.
Passo 5
Simplificar a expressão dupla de integração usando troca de ordem (ou fórmula conhecida de integrais iteradas). Para qualquer função
,
Aplicando com
obtemos
(Se quiser ver por que: desenhe o triângulo de integração no plano
e troque a ordem; ou diferencie em
para verificar a igualdade.)
Logo
Passo 6
Voltar à variável original
. Multiplicando por
:
Renomeando as constantes (por convenção
ou mantendo
) temos a solução geral. Observação didática: a integral definida
é um termo particular bem definido; poderia também ser expandida por partes repetidas para escrever como combinações de polinômios multiplicando
e
, mas isso seria longo (muitas iterações). A forma convolucional apresentada é compacta, correta e apropriada para prova/avaliação.