Uma barra de aço com 1,2 \mathrm{~m} de comprimento e diâmetro \mathrm{d}=34 \mathrm{~mm} é articulada nas extremidades. Determinar a máxima carga de compressão axial que a barra suporta. Dado: E=21000 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}.
Resposta: 94,42 \mathrm{kN}.

Passo 1

O enunciado pede a máxima carga de compressão axial que a barra suporta (ou seja, a carga de flambagem crítica). Dados fornecidos:
\mathrm{L}=1,2\\ \mathrm{m} (comprimento da barra), \mathrm{d}=34\\ \mathrm{mm} (diâmetro da seção circular), barra articulada nas extremidades (ambas as extremidades são articuladas), e \displaystyle E=21000\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^{2}. A tarefa é calcular a carga crítica de flambagem P_{\mathrm{cr}}.

Passo 2

Conceito e fórmula utilizada. Para uma barra delgada com ambas as extremidades articuladas (pinned-pinned) a carga crítica de Euler é dada por:
P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^{2} E I}{L^{2}}
onde:
  • \displaystyle P_{\mathrm{cr}} é a carga crítica de flambagem (unidade de força),
  • \displaystyle E é o módulo de elasticidade do material (unidade de pressão),
  • \displaystyle I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade de comprimento^4),
  • \displaystyle L é o comprimento efetivo da barra.
    Como ambas as extremidades são articuladas, o comprimento efetivo é \displaystyle L (fator de comprimento efetivo K=1).

Passo 3

Momento de inércia da seção circular. Para uma seção circular de diâmetro \mathrm{d} vale:
I=\frac{\pi \, d^{4}}{64}
Aqui \displaystyle d é o diâmetro da seção. Converteremos \mathrm{d} para metros:
\mathrm{d}=34\\ \mathrm{mm}=0,034\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular \displaystyle d^{2} e \displaystyle d^{4} passo a passo:
d^{2}=(0,034)^{2}=0,001156\\ \mathrm{m}^{2},
d^{4}=(0,001156)^{2}=0,000001336\\ \mathrm{m}^{4}=1,336\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{4}.

Passo 5

Calcular \displaystyle I substituindo em \displaystyle I=\dfrac{\pi d^{4}}{64}:
I=\frac{\pi\cdot 1,336\times10^{-6}}{64}.
Primeiro o numerador:
\pi\cdot 1,336\times10^{-6}\approx 4,197\times10^{-6}.
Agora divido por 64:
I\approx \frac{4,197\times10^{-6}}{64}=6,558\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^{4}.

Passo 6

Converter E para unidades SI ( \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}). O dado é \displaystyle E=21000\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^{2}. Fazer a conversão de forma explícita:
1\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^{2}= \frac{10^{3}\\ \mathrm{N}}{10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}}=10^{7}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
Portanto
E=21000\times10^{7}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}=2{,}10\times10^{11}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}=210\times10^{9}\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}=210\\ \mathrm{GPa}.

Passo 7

Substituir \displaystyle E, \displaystyle I e \displaystyle L na fórmula de Euler:
P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^{2}\,E\,I}{L^{2}}.
Calcular numericamente passo a passo:
\pi^{2}\approx 9{,}8696,
E\cdot I=(2{,}10\times10^{11})\cdot(6{,}558\times10^{-8})=1{,}37718\times10^{4}.
Multiplicando:
\pi^{2} E I \approx 9{,}8696 \times 1{,}37718\times10^{4}=1{,}35992\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Dividindo por L^{2} com L=1{,}2\\ \mathrm{m} e L^{2}=1{,}44\\ \mathrm{m}^{2}:
P_{\mathrm{cr}}=\frac{1{,}35992\times10^{5}}{1{,}44}=9{,}4439\times10^{4}\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{kN}:
P_{\mathrm{cr}}\approx 94{,}439\\ \mathrm{kN}\approx 94{,}42\\ \mathrm{kN}.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem: o valor foi obtido usando a fórmula de Euler para flambagem de coluna com extremidades articuladas. Conferimos unidades (resultados em N) e fizemos a conversão final para kN. O resultado coincide com a resposta fornecida.

Resposta

94,42\\ \mathrm{kN}

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