5- Grãos caem de um funil em uma calha CB à razão de
. Eles atingem a calha em A com uma velocidade de
e saem da calha em B com uma velocidade de
, formando um ângulo de
a horizontal.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com cuidado para não nos perder):
(taxa de massa de grãos);
os grãos atingem a calha em com velocidade de
(o enunciado não diz a direção explicitamente, vou interpretar isto como velocidade vertical para baixo — isto é comum nesse tipo de problema);
os grãos saem da calha em com velocidade de
, formando um ângulo de
com a horizontal (aqui vou interpretar o ângulo como
abaixo da horizontal, ou seja, a componente vertical da velocidade em
é negativa, porque os grãos ainda descem um pouco ao sair).
Não há dados sobre dimensões ou massa armazenada na calha, portanto vamos usar o balanço de quantidade de movimento (momento linear) em regime estacionário, sem tentar incluir o peso dos grãos dentro da calha (não há como calcular a massa dentro da calha sem geometria ou tempo de residência); a forma padrão do balanço que usaremos será suficiente e é a esperada para esta questão.
os grãos atingem a calha em
os grãos saem da calha em
Não há dados sobre dimensões ou massa armazenada na calha, portanto vamos usar o balanço de quantidade de movimento (momento linear) em regime estacionário, sem tentar incluir o peso dos grãos dentro da calha (não há como calcular a massa dentro da calha sem geometria ou tempo de residência); a forma padrão do balanço que usaremos será suficiente e é a esperada para esta questão.
Passo 2
Qual equação vamos usar e por quê — explicação didática do teorema do momento linear para controle de massa:
Para um controle de volume estacionário (fluxo permanente) onde massa entra e sai por bocais sem acumulação, o balanço do momento linear na forma vetorial é
Para um controle de volume estacionário (fluxo permanente) onde massa entra e sai por bocais sem acumulação, o balanço do momento linear na forma vetorial é
Aqui
é a soma das forças externas aplicadas ao fluido dentro do volume de controle (forças de contato da calha sobre os grãos, forças de pressão se houvesse, peso dos grãos dentro do volume etc.). No nosso problema vamos isolar a força de contato da calha sobre os grãos (que chamo de
); como não temos informação sobre massa armazenada na calha, adotamos o procedimento usual do enunciado e desprezamos o termo peso dentro do CV. Assim, tomando apenas as forças de contato como externas relevantes:
Importante: pela terceira lei de Newton, a força que os grãos exercem sobre a calha é o oposto desta:
. Eu vou calcular
(força da calha sobre os grãos) e depois trocar o sinal para dar a força que a calha sofre.
Passo 3
Escolha de eixos e representação vetorial das velocidades — revisão de decomposição vetorial:
Vou tomar o eixo horizontal positivo para a direita e o eixo
vertical positivo para cima. Então:
Vou tomar o eixo
- A velocidade em
é vertical para baixo com módulo , logo
- A velocidade em
tem módulo e faz abaixo da horizontal. As componentes (usando trigonometria: componente horizontal é , vertical é ) são
Lembrete rápido de trigonometria: para um vetor de módulo
com ângulo
medido a partir da horizontal, as componentes são
(horizontal) e
(vertical). Como o ângulo é abaixo da horizontal, a componente vertical é negativa.
Passo 4
Calcular numericamente as componentes de
(faço passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora em parte):
Usando e
,
Usando
Passo 5
Calcular a variação de velocidade
componente a componente:
Passo 6
Multiplicar pela taxa de massa
para obter a taxa de variação de momento (isto dá a força que a calha exerce sobre os grãos):
Portanto a força da calha sobre os grãos é
Passo 7
Obter a força que os grãos exercem sobre a calha (oposta):
Agora cálculo da magnitude e direção (para apresentar formato final compreensível):
Ângulo com a horizontal (medido abaixo da horizontal, apontando para a esquerda e para baixo):
Interpretação: a força que a calha sofre (pelos grãos) aponta para a esquerda e para baixo, fazendo
com a horizontal.