5- Grãos caem de um funil em uma calha CB à razão de 150 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Eles atingem a calha em A com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e saem da calha em B com uma velocidade de 7,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, formando um ângulo de 10^{\circ} \mathrm{com} a horizontal.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo com cuidado para não nos perder):
\dot m=150\\ \mathrm{kg/s} (taxa de massa de grãos);
os grãos atingem a calha em A com velocidade de 10\\ \mathrm{m/s} (o enunciado não diz a direção explicitamente, vou interpretar isto como velocidade vertical para baixo — isto é comum nesse tipo de problema);
os grãos saem da calha em B com velocidade de 7{,}0\\ \mathrm{m/s}, formando um ângulo de 10^\circ com a horizontal (aqui vou interpretar o ângulo como 10^\circ abaixo da horizontal, ou seja, a componente vertical da velocidade em B é negativa, porque os grãos ainda descem um pouco ao sair).
Não há dados sobre dimensões ou massa armazenada na calha, portanto vamos usar o balanço de quantidade de movimento (momento linear) em regime estacionário, sem tentar incluir o peso dos grãos dentro da calha (não há como calcular a massa dentro da calha sem geometria ou tempo de residência); a forma padrão do balanço que usaremos será suficiente e é a esperada para esta questão.

Passo 2

Qual equação vamos usar e por quê — explicação didática do teorema do momento linear para controle de massa:
Para um controle de volume estacionário (fluxo permanente) onde massa entra e sai por bocais sem acumulação, o balanço do momento linear na forma vetorial é
\sum \vec F_{\text{ext}} = \dot m\,\vec v_{\text{out}} - \dot m\,\vec v_{\text{in}}.
Aqui \sum \vec F_{\text{ext}} é a soma das forças externas aplicadas ao fluido dentro do volume de controle (forças de contato da calha sobre os grãos, forças de pressão se houvesse, peso dos grãos dentro do volume etc.). No nosso problema vamos isolar a força de contato da calha sobre os grãos (que chamo de \vec F_c); como não temos informação sobre massa armazenada na calha, adotamos o procedimento usual do enunciado e desprezamos o termo peso dentro do CV. Assim, tomando apenas as forças de contato como externas relevantes:
\vec F_c = \dot m\left(\vec v_B-\vec v_A\right).
Importante: pela terceira lei de Newton, a força que os grãos exercem sobre a calha é o oposto desta: \vec F_{\text{calha}} = -\vec F_c. Eu vou calcular \vec F_c (força da calha sobre os grãos) e depois trocar o sinal para dar a força que a calha sofre.

Passo 3

Escolha de eixos e representação vetorial das velocidades — revisão de decomposição vetorial:
Vou tomar o eixo x horizontal positivo para a direita e o eixo y vertical positivo para cima. Então:
  • A velocidade em A é vertical para baixo com módulo 10\\ \mathrm{m/s}, logo
\vec v_A = \bigl(0,\\\ -10\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
  • A velocidade em B tem módulo 7{,}0\\ \mathrm{m/s} e faz 10^\circ abaixo da horizontal. As componentes (usando trigonometria: componente horizontal é \cos, vertical é \sin) são
\vec v_B = \bigl(7\cos 10^\circ,\\\ -7\sin 10^\circ\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
Lembrete rápido de trigonometria: para um vetor de módulo V com ângulo \theta medido a partir da horizontal, as componentes são V\cos\theta (horizontal) e V\sin\theta (vertical). Como o ângulo é abaixo da horizontal, a componente vertical é negativa.

Passo 4

Calcular numericamente as componentes de \vec v_B (faço passo a passo para você poder repetir na prova sem calculadora em parte):
Usando \cos 10^\circ\approx 0{,}9848 e \sin 10^\circ\approx 0{,}1736,
\begin{aligned} v_{Bx} &= 7\cos 10^\circ \approx 7\times 0{,}9848 \approx 6{,}8937\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] v_{By} &= -7\sin 10^\circ \approx -7\times 0{,}1736 \approx -1{,}2155\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular a variação de velocidade \vec v_B-\vec v_A componente a componente:
\begin{aligned} \Delta v_x &= v_{Bx}-v_{Ax}=6{,}8937-0=6{,}8937\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] \Delta v_y &= v_{By}-v_{Ay}=-1{,}2155-(-10)=8{,}7845\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}]

Passo 6

Multiplicar pela taxa de massa \dot m para obter a taxa de variação de momento (isto dá a força que a calha exerce sobre os grãos):
\begin{aligned} F_{c,x} &= \dot m\,\Delta v_x = 150\times 6{,}8937 \approx 1{,}034{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N},\\[4pt] F_{c,y} &= \dot m\,\Delta v_y = 150\times 8{,}7845 \approx 1{,}317{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Portanto a força da calha sobre os grãos é
\vec F_c \approx \bigl(1{,}034\times10^{3},\;1{,}318\times10^{3}\bigr)\\ \mathrm{N}.]

Passo 7

Obter a força que os grãos exercem sobre a calha (oposta):
\vec F_{\text{calha}} = -\vec F_c \approx \bigl(-1{,}034\times10^{3},\\\ -1{,}318\times10^{3}\bigr)\\ \mathrm{N}.
Agora cálculo da magnitude e direção (para apresentar formato final compreensível):
|\vec F_{\text{calha}}| = \sqrt{(-1{,}034\times10^{3})^2 + (-1{,}318\times10^{3})^2} =150\sqrt{6{,}8937^2+8{,}7845^2}\approx 1{,}675\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
Ângulo com a horizontal (medido abaixo da horizontal, apontando para a esquerda e para baixo):
\theta=\arctan\!\left(\frac{|F_y|}{|F_x|}\right)=\arctan\!\left(\frac{1{,}318\times10^{3}}{1{,}034\times10^{3}}\right)\approx 52{,}0^\circ.
Interpretação: a força que a calha sofre (pelos grãos) aponta para a esquerda e para baixo, fazendo 52{,}0^\circ com a horizontal.

Resposta

\;F_x = -1{,}03\times10^{3}\\ \mathrm{N}\n
\;F_y = -1{,}32\times10^{3}\\ \mathrm{N}\n
\;|\vec F| = 1{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{N},\\ \text{direcionada }52{,}0^\circ\text{ abaixo da horizontal (para a esquerda)}

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