6- O coeficiente de restituição entre os dois blocos A e B é 0,70 . Determine (a) as velocidade após o impacto e b) a energia perdida durante o impacto

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) as velocidades após o impacto;
(b) a energia perdida durante o impacto.
O enunciado fornece apenas o coeficiente de restituição \,e=0,70.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico: as massas dos blocos \,m_A e \,m_B e as velocidades iniciais \,u_A e \,u_B (incluindo sinais/direções). Sem esses dados não é possível calcular valores numéricos específicos.
A seguir eu mostro passo a passo o método correto (fórmulas e deduções) que você deve aplicar na prova assim que tiver as massas e as velocidades iniciais.

Passo 2

Definimos as incógnitas e escrevemos a conservação do momento linear (porque, durante o impacto entre A e B, a força interna entre eles é muito maior que forças externas instantâneas, então o momento total do sistema se conserva).
Variáveis:
\,m_A e \,m_B: massas dos blocos A e B.
\,u_A e \,u_B: velocidades iniciais (antes do choque) de A e B, respectivamente, com sinais que representam direção.
\,v_A e \,v_B: velocidades finais (após o choque) de A e B, respectivamente.
A conservação do momento escreve-se:
m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B.
Explicação didática: isso quer dizer que a soma das quantidades de movimento (massa vezes velocidade) antes do choque é igual à soma depois do choque, porque não consideramos impulso externo significativo durante o impacto.

Passo 3

Definição do coeficiente de restituição \,e. Ele relaciona as velocidades relativas na linha de impacto antes e depois do choque. Para um choque unidimensional e tomando a situação em que A se aproxima de B (ou, de modo geral, usando a convenção abaixo), temos:
e = \frac{v_B - v_A}{u_A - u_B},
desde que \,u_A - u_B>0 (ou seja, A aproximando-se de B).
Explicação: o numerador é a velocidade de afastamento relativa após o choque, e o denominador é a velocidade de aproximação relativa antes do choque. O valor de e varia entre 0 (choque perfeitamente inelástico) e 1 (choque elástico).

Passo 4

Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações (conservação do momento e definição de e) para achar \,v_A e \,v_B. Vou mostrar as manipulações passo a passo.
Da equação da restituição isolamos \,v_B:
v_B = v_A + e\,(u_A - u_B).
Substituímos isso na conservação do momento:
m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B\bigl(v_A + e\,(u_A - u_B)\bigr).
Distribuindo e agrupando termos em v_A:
m_A u_A + m_B u_B = (m_A + m_B)v_A + m_B e\,(u_A - u_B).
Isolando v_A:
(m_A + m_B)v_A = m_A u_A + m_B u_B - m_B e\,(u_A - u_B).
Portanto
v_A = \frac{m_A u_A + m_B u_B - m_B e\,(u_A - u_B)}{m_A + m_B}.
Agora usamos a expressão de v_B em termos de v_A:
v_B = v_A + e\,(u_A - u_B).
Substituindo a fórmula de v_A obtemos, após simplificação,
v_B = \frac{m_A u_A + m_B u_B + m_A e\,(u_A - u_B)}{m_A + m_B}.
Comentário prático: essas duas fórmulas são as que você deve memorizar ou saber deduzir rapidamente na prova. Elas dão as velocidades finais em função das massas, velocidades iniciais e do coeficiente de restituição.

Passo 5

Agora calculamos a energia perdida durante o impacto. Definimos:
energia cinética inicial
K_i=\tfrac{1}{2}m_A u_A^2+\tfrac{1}{2}m_B u_B^2,
energia cinética final
K_f=\tfrac{1}{2}m_A v_A^2+\tfrac{1}{2}m_B v_B^2.
Energia perdida (dissipada) durante o choque:
\Delta E = K_i - K_f.
Há uma forma elegante de escrever \Delta E usando a massa reduzida \mu, definida por
\mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B}.
Mostro agora a identidade utilizada frequentemente. A diferença de energia pode ser reescrita como
\Delta E = \tfrac{1}{2}\mu\Bigl[(u_A - u_B)^2 - (v_A - v_B)^2\Bigr].
Explicação curta de porquê isso vale: ao manipular K_i-K_f e usar a conservação do momento para eliminar termos lineares, chega-se a uma expressão proporcional à diferença entre os quadrados da velocidade relativa antes e depois do choque; o fator de proporcionalidade é a massa reduzida \mu. (Na prova, se precisar, dá para fazer a álgebra explícita, é um pouco longa mas direta.)
Mas pela definição do coeficiente de restituição temos
v_B - v_A = e\,(u_A - u_B),
logo
(v_A - v_B)^2 = e^2\,(u_A - u_B)^2.
Substituindo na expressão de \Delta E:
\Delta E = \tfrac{1}{2}\mu\bigl(1 - e^2\bigr)\,(u_A - u_B)^2.
Isto é muito útil: a perda de energia depende apenas da diferença de velocidades iniciais, das massas via \mu, e de e. Para o caso numérico com e=0{,}70 podemos simplificar o fator numérico:
1-e^2 = 1 - 0{,}70^2 = 1 - 0{,}49 = 0{,}51,
portanto
\Delta E = \tfrac{1}{2}\mu\cdot 0{,}51\,(u_A - u_B)^2 = 0{,}255\;\mu\,(u_A - u_B)^2.

Passo 6

Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (passos operacionais):
  1. Identifique/signe u_A,u_B e valores de m_A,m_B.
  2. Use as fórmulas
v_A = \frac{m_A u_A + m_B u_B - m_B e\,(u_A - u_B)}{m_A + m_B}, \qquad v_B = \frac{m_A u_A + m_B u_B + m_A e\,(u_A - u_B)}{m_A + m_B}.
  1. Calcule K_i e K_f se quiser conferir, ou calcule diretamente
\Delta E = \tfrac{1}{2}\mu\bigl(1 - e^2\bigr)\,(u_A - u_B)^2 \quad\text{com}\quad \mu=\frac{m_A m_B}{m_A + m_B}.
  1. Se o enunciado fornecer valores numéricos, substitua e faça as contas. Se não fornecer, não é possível obter números.

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente por falta de m_A,m_B,u_A,u_B. Fórmulas gerais:
v_A = \frac{m_A u_A + m_B u_B - m_B e\,(u_A - u_B)}{m_A + m_B}, \qquad v_B = \frac{m_A u_A + m_B u_B + m_A e\,(u_A - u_B)}{m_A + m_B}.
(b) Não é possível determinar numericamente por falta de m_A,m_B,u_A,u_B. Fórmula geral para a energia perdida:
\Delta E = \tfrac{1}{2}\,\frac{m_A m_B}{m_A + m_B}\,\bigl(1 - e^2\bigr)\,(u_A - u_B)^2.

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