6- O coeficiente de restituição entre os dois blocos A e B é 0,70 . Determine (a) as velocidade após o impacto e b) a energia perdida durante o impacto
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) as velocidades após o impacto;
(b) a energia perdida durante o impacto.
(a) as velocidades após o impacto;
(b) a energia perdida durante o impacto.
O enunciado fornece apenas o coeficiente de restituição
.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico: as massas dos blocos e
e as velocidades iniciais
e
(incluindo sinais/direções). Sem esses dados não é possível calcular valores numéricos específicos.
A seguir eu mostro passo a passo o método correto (fórmulas e deduções) que você deve aplicar na prova assim que tiver as massas e as velocidades iniciais.
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico: as massas dos blocos
A seguir eu mostro passo a passo o método correto (fórmulas e deduções) que você deve aplicar na prova assim que tiver as massas e as velocidades iniciais.
Passo 2
Definimos as incógnitas e escrevemos a conservação do momento linear (porque, durante o impacto entre A e B, a força interna entre eles é muito maior que forças externas instantâneas, então o momento total do sistema se conserva).
Variáveis:
e
: massas dos blocos A e B.
e
: velocidades iniciais (antes do choque) de A e B, respectivamente, com sinais que representam direção.
e
: velocidades finais (após o choque) de A e B, respectivamente.
Variáveis:
A conservação do momento escreve-se:
Explicação didática: isso quer dizer que a soma das quantidades de movimento (massa vezes velocidade) antes do choque é igual à soma depois do choque, porque não consideramos impulso externo significativo durante o impacto.
Passo 3
Definição do coeficiente de restituição
. Ele relaciona as velocidades relativas na linha de impacto antes e depois do choque. Para um choque unidimensional e tomando a situação em que A se aproxima de B (ou, de modo geral, usando a convenção abaixo), temos:
desde que
(ou seja, A aproximando-se de B).
Explicação: o numerador é a velocidade de afastamento relativa após o choque, e o denominador é a velocidade de aproximação relativa antes do choque. O valor de
varia entre 0 (choque perfeitamente inelástico) e 1 (choque elástico).
Passo 4
Agora resolvemos o sistema formado pelas duas equações (conservação do momento e definição de
) para achar
e
. Vou mostrar as manipulações passo a passo.
Da equação da restituição isolamos
:
Substituímos isso na conservação do momento:
Distribuindo e agrupando termos em
:
Isolando
:
Portanto
Agora usamos a expressão de
em termos de
:
Substituindo a fórmula de
obtemos, após simplificação,
Comentário prático: essas duas fórmulas são as que você deve memorizar ou saber deduzir rapidamente na prova. Elas dão as velocidades finais em função das massas, velocidades iniciais e do coeficiente de restituição.
Passo 5
Agora calculamos a energia perdida durante o impacto. Definimos:
energia cinética inicial
energia cinética inicial
energia cinética final
Energia perdida (dissipada) durante o choque:
Há uma forma elegante de escrever
usando a massa reduzida
, definida por
Mostro agora a identidade utilizada frequentemente. A diferença de energia pode ser reescrita como
Explicação curta de porquê isso vale: ao manipular
e usar a conservação do momento para eliminar termos lineares, chega-se a uma expressão proporcional à diferença entre os quadrados da velocidade relativa antes e depois do choque; o fator de proporcionalidade é a massa reduzida
. (Na prova, se precisar, dá para fazer a álgebra explícita, é um pouco longa mas direta.)
Mas pela definição do coeficiente de restituição temos
logo
Substituindo na expressão de
:
Isto é muito útil: a perda de energia depende apenas da diferença de velocidades iniciais, das massas via
, e de
. Para o caso numérico com
podemos simplificar o fator numérico:
portanto
Passo 6
Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (passos operacionais):
- Identifique/signe
e valores de . - Use as fórmulas
- Calcule
e se quiser conferir, ou calcule diretamente
- Se o enunciado fornecer valores numéricos, substitua e faça as contas. Se não fornecer, não é possível obter números.
Resposta
(a) Não é possível determinar numericamente por falta de
. Fórmulas gerais:
(b) Não é possível determinar numericamente por falta de
. Fórmula geral para a energia perdida: