Determinar o diâmetro de uma barra de aço com
de comprimento, articulada nas extremidades e submetida a uma carga axial de compressão de 200 kN . Dados:
.
Resposta:
.
Passo 1
Enunciado e o que se pede:\n
- Comprimento da barra:
.\n - A barra está articulada (engates) nas duas extremidades — isto significa apoio engastilhado como “pino-pino” ou simplesmente “apoiada nas duas extremidades”.\n
- Carga axial de compressão aplicada:
.\n - Módulo de elasticidade fornecido:
.\n - O que pedem: determinar o diâmetro da barra circular maciça,
, de modo que ela suporte esta carga sem entrar em flambagem (colapso por flexão).
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):\n
Quando uma barra longa e esbelta está submetida a compressão axial, o modo de falha mais crítico costuma ser a flambagem (instabilidade), não a simples compressão por escoamento. Para um pilar ideal, articulado nas duas extremidades (pino-pino), a carga crítica de flambagem é dada pela fórmula de Euler. Essa fórmula fornece a maior carga axial que a coluna pode suportar antes de flambear (assumindo comportamento elástico e seção constante). Como o enunciado menciona articulações nas extremidades, usamos a condição de pino-pino, cuja constante de comprimento efetivo é .\n
Fórmula de Euler (apresentação e explicação das variáveis):
Quando uma barra longa e esbelta está submetida a compressão axial, o modo de falha mais crítico costuma ser a flambagem (instabilidade), não a simples compressão por escoamento. Para um pilar ideal, articulado nas duas extremidades (pino-pino), a carga crítica de flambagem é dada pela fórmula de Euler. Essa fórmula fornece a maior carga axial que a coluna pode suportar antes de flambear (assumindo comportamento elástico e seção constante). Como o enunciado menciona articulações nas extremidades, usamos a condição de pino-pino, cuja constante de comprimento efetivo é
Fórmula de Euler (apresentação e explicação das variáveis):
onde\n
-
é a carga crítica de flambagem (N),\n -
é o módulo de elasticidade do material (N/mm ou Pa conforme unidades),\n -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que flambará (mm para unidades mm),\n -
é o comprimento total da barra (mm),\n -
é o fator de comprimento efetivo (para pino-pino ).\n
Para projetar a seção mínima, igualamos a carga aplicadaà carga crítica (caso sem coeficiente de segurança explícito): . Assim podemos determinar o momento de inércia necessário e, daí, o diâmetro.
Passo 3
Momento de inércia para seção circular maciça (fórmula e significado):\n
Para uma seção circular de diâmetro (mm), o momento de inércia em relação a qualquer diâmetro que passa pelo centro é
Para uma seção circular de diâmetro
Aqui
é o diâmetro da barra (mm) e
tem unidade mm
. Essa fórmula é padrão e vem da integração da área circular multiplicada pelo quadrado da distância ao eixo neutro.
Passo 4
Isolar
a partir da equação de Euler (álgebra passo a passo):\n
Igualando e
e substituindo
:
Igualando
Como
, simplificamos:
Isolando
:
Portanto
Passo 5
Conversão de unidades (muito importante para consistência) e preparação dos valores numéricos:\n
Devemos trabalhar com um sistema consistente; vou usar unidades e
, assim
vem em
.\n
Converter os dados:\n
Devemos trabalhar com um sistema consistente; vou usar unidades
Converter os dados:\n
-
.\n -
.\n - O módulo fornecido no enunciado é
. Vou explicar essa conversão: (ou ). Assim
Observação: este valor corresponde a
, que é o valor típico do módulo de elasticidade do aço, então a conversão está coerente.
Passo 6
Cálculo numérico detalhado (sem pular etapas):\n
Substituímos na expressão
Substituímos na expressão
Primeiro calcule
:
Agora calcule
:
Multiplicando passo a passo:
Agora o denominador
:\n
é aproximadamente
. Então
Logo
Para obter
tiramos a raiz quarta. Faço isso em duas etapas (duas raízes quadradas):\n
Primeira raiz quadrada:
Primeira raiz quadrada:
Segunda raiz quadrada:
Arredondando para um valor prático de fabricação (e coerente com a resposta fornecida), obtemos
.
Passo 7
Interpretação final e observações rápidas:\n
- O valor encontrado
foi arredondado para conforme solicitado.\n - A hipótese usada é que a barra é esbelta e o colapso por flambagem obedece à teoria de Euler (comportamento elástico). Em projeto real costuma-se usar um coeficiente de segurança e checar estabilidade local, imperfeições e o estado limite de resistência do material.