Determinar o diâmetro de uma barra de aço com 1,2 \mathrm{~m} de comprimento, articulada nas extremidades e submetida a uma carga axial de compressão de 200 kN . Dados: E=21000 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2}.
Resposta: \mathrm{d}=41 \mathrm{~mm}.

Passo 1

Enunciado e o que se pede:\n
  • Comprimento da barra: \,L=1{,}2\\ \mathrm{m}.\n
  • A barra está articulada (engates) nas duas extremidades — isto significa apoio engastilhado como “pino-pino” ou simplesmente “apoiada nas duas extremidades”.\n
  • Carga axial de compressão aplicada: \,P=200\\ \mathrm{kN}.\n
  • Módulo de elasticidade fornecido: \,E=21000\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2.\n
  • O que pedem: determinar o diâmetro da barra circular maciça, \,d, de modo que ela suporte esta carga sem entrar em flambagem (colapso por flexão).

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática):\n
Quando uma barra longa e esbelta está submetida a compressão axial, o modo de falha mais crítico costuma ser a flambagem (instabilidade), não a simples compressão por escoamento. Para um pilar ideal, articulado nas duas extremidades (pino-pino), a carga crítica de flambagem é dada pela fórmula de Euler. Essa fórmula fornece a maior carga axial que a coluna pode suportar antes de flambear (assumindo comportamento elástico e seção constante). Como o enunciado menciona articulações nas extremidades, usamos a condição de pino-pino, cuja constante de comprimento efetivo é \,K=1.\n
Fórmula de Euler (apresentação e explicação das variáveis):
P_{cr}=\frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}
onde\n
  • \,P_{cr} é a carga crítica de flambagem (N),\n
  • \,E é o módulo de elasticidade do material (N/mm ^2 ou Pa conforme unidades),\n
  • \,I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo que flambará (mm ^4 para unidades mm),\n
  • \,L é o comprimento total da barra (mm),\n
  • \,K é o fator de comprimento efetivo (para pino-pino \,K=1).\n
    Para projetar a seção mínima, igualamos a carga aplicada \,P à carga crítica \,P_{cr} (caso sem coeficiente de segurança explícito): \,P=P_{cr}. Assim podemos determinar o momento de inércia necessário e, daí, o diâmetro.

Passo 3

Momento de inércia para seção circular maciça (fórmula e significado):\n
Para uma seção circular de diâmetro \,d (mm), o momento de inércia em relação a qualquer diâmetro que passa pelo centro é
I=\frac{\pi d^4}{64}.
Aqui \,d é o diâmetro da barra (mm) e \,I tem unidade mm ^4. Essa fórmula é padrão e vem da integração da área circular multiplicada pelo quadrado da distância ao eixo neutro.

Passo 4

Isolar \,d a partir da equação de Euler (álgebra passo a passo):\n
Igualando P e P_{cr} e substituindo I:
P=\frac{\pi^2 E}{(K L)^2}\cdot I=\frac{\pi^2 E}{(K L)^2}\cdot\frac{\pi d^4}{64}.
Como K=1, simplificamos:
P=\frac{\pi^3 E d^4}{64 L^2}.
Isolando d^4:
d^4=\frac{64\,P\,L^2}{\pi^3 E}.
Portanto
d=\left(\frac{64\,P\,L^2}{\pi^3 E}\right)^{1/4}.

Passo 5

Conversão de unidades (muito importante para consistência) e preparação dos valores numéricos:\n
Devemos trabalhar com um sistema consistente; vou usar unidades \mathrm{N} e \mathrm{mm}, assim d vem em \mathrm{mm}.\n
Converter os dados:\n
  • \,P=200\\ \mathrm{kN}=200000\\ \mathrm{N}.\n
  • \,L=1{,}2\\ \mathrm{m}=1200\\ \mathrm{mm}.\n
  • O módulo fornecido no enunciado é \,E=21000\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2. Vou explicar essa conversão: \,1\\ \mathrm{kN}/\mathrm{cm}^2 = 10\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2 (ou 10\\ \mathrm{MPa}). Assim
E=21000\\ \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{cm}^2}=21000\cdot 10\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}=210000\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}.
Observação: este valor corresponde a \,210\\ \mathrm{GPa}, que é o valor típico do módulo de elasticidade do aço, então a conversão está coerente.

Passo 6

Cálculo numérico detalhado (sem pular etapas):\n
Substituímos na expressão
d^4=\frac{64\,P\,L^2}{\pi^3 E}.
Primeiro calcule L^2:
L^2=(1200\\ \mathrm{mm})^2=1\,440\,000\\ \mathrm{mm}^2.
Agora calcule 64\,P\,L^2:
64\cdot P\cdot L^2=64\cdot 200000\\ \mathrm{N}\cdot 1\,440\,000\\ \mathrm{mm}^2.
Multiplicando passo a passo:
200000\cdot 1\,440\,000=288\,000\,000\,000,
64\cdot 288\,000\,000\,000=18\,432\,000\,000\,000.
Agora o denominador \pi^3 E:\n
\pi^3 é aproximadamente 31{,}00627668. Então
\pi^3 E\approx 31{,}00627668\cdot 210000\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\approx 6\,511\,318{,}203\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}.
Logo
d^4=\frac{18\,432\,000\,000\,000}{6\,511\,318{,}203}\approx 2\,830\,605{,}9.
Para obter d tiramos a raiz quarta. Faço isso em duas etapas (duas raízes quadradas):\n
Primeira raiz quadrada:
\sqrt{d^4}=\sqrt{2\,830\,605{,}9}\approx 1\,682{,}47.
Segunda raiz quadrada:
d=\sqrt{1\,682{,}47}\approx 41{,}02\\ \mathrm{mm}.
Arredondando para um valor prático de fabricação (e coerente com a resposta fornecida), obtemos \,d\approx 41\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Interpretação final e observações rápidas:\n
  • O valor encontrado \,d\approx 41{,}02\\ \mathrm{mm} foi arredondado para \,41\\ \mathrm{mm} conforme solicitado.\n
  • A hipótese usada é que a barra é esbelta e o colapso por flambagem obedece à teoria de Euler (comportamento elástico). Em projeto real costuma-se usar um coeficiente de segurança e checar estabilidade local, imperfeições e o estado limite de resistência do material.

Resposta

d=41\\ \mathrm{mm}

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