1. Uma barra de aço solida de seçao transversal circular tem diämetro d=40 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=1,3 \mathrm{~m} \mathrm{e} módulo de elasticidade transversal \mathrm{G}=80 \mathrm{GPa}. A barra está submetida a torques T agindo nas extremidades.
a. Se os torques tëm intensidades \mathrm{I}=340 \mathrm{~N} . \mathrm{m}, qual è a tensäo de cisalhamento maxima na barra? Qual é o ângulo de torção entre as extremidades?

Passo 1

O enunciado dá uma barra circular sólida submetida a torques T nas extremidades e pede duas coisas:
  • (a) a tensão de cisalhamento máxima na barra;
  • (b) o ângulo de torção entre as extremidades.
Dados fornecidos (peguei d e L da figura e o valor de T do enunciado):
  • diâmetro: d=40\\ \text{mm}=0,04\\ \text{m};
  • raio externo (metade do diâmetro): c=\dfrac{d}{2}=0,02\\ \text{m};
  • comprimento: L=1,3\\ \text{m};
  • torque aplicado em cada extremidade: T=340\\ \text{N}\cdot\text{m};
  • módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento): G=80\\ \text{GPa}=80\times10^{9}\\ \text{Pa}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática):
  • A distribuição de tensões de cisalhamento por torção em um eixo circular sólido é linear com o raio: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície externa. A fórmula para a tensão de cisalhamento máxima é
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a tensão de cisalhamento máxima (em Pa);
  • T é o torque aplicado (em N·m);
  • c é o raio externo do eixo (em m);
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (em m^{4}).
  • Para uma seção circular sólida, o momento polar de inércia J vale
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro.
  • O ângulo de torção (torque provoca rotação relativa entre as extremidades) para um eixo homogêneo e de material elástico linear é dado por
\theta=\frac{T\,L}{G\,J},
onde \theta está em radianos. Aqui:
  • L é o comprimento do eixo (m);
  • G é o módulo de cisalhamento (Pa);
  • os demais símbolos já foram definidos.
Essas fórmulas vêm da teoria da torção para barras circulares sólidas (elas são padrões em disciplinas de resistência dos materiais/ mecânica dos sólidos). Agora aplicamos passo a passo.

Passo 3

Cálculo do momento polar de inércia J da seção circular usando d=0,04\\ \text{m}:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi(0,04)^{4}}{32}.
Calculemos d^{4}:
(0,04)^{2}=0,0016,\qquad (0,04)^{4}=(0,0016)^{2}=2{,}56\times10^{-6}.
Então
J=\frac{\pi\cdot2{,}56\times10^{-6}}{32}=\;2{,}513274123\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Cálculo da tensão de cisalhamento máxima usando \tau_{\max}=\dfrac{T\,c}{J}.
Temos T=340\\ \text{N}\cdot\text{m} e c=0,02\\ \text{m}. Então o numerador é
T\,c=340\cdot0,02=6{,}8\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Dividindo por J:
\tau_{\max}=\frac{6{,}8}{2{,}513274123\times10^{-7}}\\ \text{Pa}\approx2{,}706\times10^{7}\\ \text{Pa}.
Convertendo para MPa ( 1\\ \text{MPa}=10^{6}\\ \text{Pa}):
\tau_{\max}\approx27{,}06\\ \text{MPa}.
Explicação rápida: o valor é razoável para aço sob esse torque — a tensão aumenta com o raio c e diminui com o momento polar J (se a seção for mais “gorda”, J cresce e a tensão diminui).

Passo 5

Cálculo do ângulo de torção \theta usando \theta=\dfrac{T\,L}{G\,J}.
Primeiro o numerador:
T\,L=340\cdot1{,}3=442\\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}.
Já calculamos G\,J:
G\,J=(80\times10^{9})\cdot(2{,}513274123\times10^{-7})\approx2,0106192984\times10^{4}.
Agora a divisão:
\theta=\frac{442}{2{,}0106\times10^{4}}\\ \text{rad}\approx0{,}02197\\ \text{rad}.
Se quiser em graus (útil para intuição), multiplica por 180/\pi:
\theta\approx0{,}02197\cdot\frac{180}{\pi}\approx1{,}26^\circ.
Interpretação: 0{,}02197\\ \text{rad} é um giro pequeno (cerca de 1{,}26^\circ) entre as extremidades para o torque dado.

Resposta

\tau_{\max}=27{,}06\\ \text{MPa}
\theta=0{,}02197\\ \text{rad}\\ \approx1{,}26^\circ

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