- Uma barra de aço solida de seçao transversal circular tem diämetro
, comprimento
módulo de elasticidade transversal
. A barra está submetida a torques T agindo nas extremidades.
a. Se os torques tëm intensidades
, qual è a tensäo de cisalhamento maxima na barra? Qual é o ângulo de torção entre as extremidades?
Passo 1
O enunciado dá uma barra circular sólida submetida a torques
nas extremidades e pede duas coisas:
- (a) a tensão de cisalhamento máxima na barra;
- (b) o ângulo de torção entre as extremidades.
Dados fornecidos (peguei
e
da figura e o valor de
do enunciado):
- diâmetro:
; - raio externo (metade do diâmetro):
; - comprimento:
; - torque aplicado em cada extremidade:
; - módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento):
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula rapidinha e prática):
- A distribuição de tensões de cisalhamento por torção em um eixo circular sólido é linear com o raio: a tensão de cisalhamento é máxima na superfície externa. A fórmula para a tensão de cisalhamento máxima é
onde:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (em Pa); -
é o torque aplicado (em N·m); -
é o raio externo do eixo (em m); -
é o momento polar de inércia da seção transversal (em m^{4}). -
Para uma seção circular sólida, o momento polar de inércia
vale
onde
é o diâmetro.
- O ângulo de torção (torque provoca rotação relativa entre as extremidades) para um eixo homogêneo e de material elástico linear é dado por
onde
está em radianos. Aqui:
-
é o comprimento do eixo (m); -
é o módulo de cisalhamento (Pa); - os demais símbolos já foram definidos.
Essas fórmulas vêm da teoria da torção para barras circulares sólidas (elas são padrões em disciplinas de resistência dos materiais/ mecânica dos sólidos). Agora aplicamos passo a passo.
Passo 3
Cálculo do momento polar de inércia
da seção circular usando
:
Calculemos
:
Então
Passo 4
Cálculo da tensão de cisalhamento máxima usando
.
Temos e
. Então o numerador é
Temos
Dividindo por
:
Convertendo para MPa (
):
Explicação rápida: o valor é razoável para aço sob esse torque — a tensão aumenta com o raio
e diminui com o momento polar
(se a seção for mais “gorda”,
cresce e a tensão diminui).
Passo 5
Cálculo do ângulo de torção
usando
.
Primeiro o numerador:
Primeiro o numerador:
Já calculamos
:
Agora a divisão:
Se quiser em graus (útil para intuição), multiplica por
:
Interpretação:
é um giro pequeno (cerca de
) entre as extremidades para o torque dado.