1. Uma barra de aço solida de seçao transversal circular tem diämetro d=40 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=1,3 \mathrm{~m} \mathrm{e} módulo de elasticidade transversal \mathrm{G}=80 \mathrm{GPa}. A barra está submetida a torques T agindo nas extremidades.
b. Se a tensão de cisalhamento admissível é de 42 MPa e o ângulo de torção admissível é 2,5^{\underline{Q}}, qual é o torque máximo permitido.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o torque máximo permitido T_{\max} considerando duas limitações — a tensão de cisalhamento admissível e o ângulo de torção admissível — e escolher o menor torque que satisfaça ambas as condições.
Peguei os dados do enunciado / figura:
  • diâmetro da barra: d=40\\ \mathrm{mm}=0,04\\ \mathrm{m} (valor extraído da imagem);
  • comprimento: L=1,3\\ \mathrm{m} (valor extraído da imagem);
  • módulo de elasticidade transversal: G=80\\ \mathrm{GPa}=80\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} (valor dado);
  • tensão de cisalhamento admissível: \tau_{\text{adm}}=42\\ \mathrm{MPa}=42\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} (valor dado);
  • ângulo de torção admissível: \theta_{\text{adm}}=2,5^\circ (valor dado; será convertido para radianos).
Objetivo operacional: calcular o torque limite imposto pela tensão ( T_{\tau}) e o torque limite imposto pelo ângulo ( T_{\theta}), e então tomar
T_{\max}=\min\{T_{\tau},\,T_{\theta}\}.

Passo 2

Relembrando as fórmulas de torção para um eixo circular maciço (aquelas que precisa decorar / saber aplicar na prova):
  • momento polar de inércia (segunda polar moment) de uma seção circular maciça:
J=\frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro da seção e J tem unidades \mathrm{m^{4}}.
  • tensão de cisalhamento máxima (em torno da periferia) sob torque T:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde c=\dfrac{d}{2} é o raio da seção (distância da fibra mais exterior ao centro). Se conhecemos \tau_{\text{adm}}, isolamos T:
T_{\tau}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}.
  • ângulo de torção \theta (em radianos) ao longo do comprimento L para um torque uniforme T:
\theta=\frac{T\,L}{J\,G}.
Isolando T usando o ângulo admissível \theta_{\text{adm}}:
T_{\theta}=\frac{\theta_{\text{adm}}\,J\,G}{L}.
Em todas as fórmulas acima:
  • T tem unidades \mathrm{N\cdot m},
  • G em \mathrm{Pa},
  • L em \mathrm{m},
  • \theta em radianos.

Passo 3

Calcular J explicitamente para d=0,04\\ \mathrm{m}:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi (0,04)^{4}}{32}.
Calcule passo a passo:
(0,04)^{2}=0,0016,\qquad (0,04)^{4}=(0,0016)^{2}=2{,}56\times10^{-6}.
\frac{(0,04)^{4}}{32}=\frac{2{,}56\times10^{-6}}{32}=8{,}0\times10^{-8}.
J=\pi\cdot 8{,}0\times10^{-8}=8{,}0\pi\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{4}}\approx 2{,}513274\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.
Portanto:
J\approx 2{,}513274\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Calcular o torque limite imposto pela tensão admissível (usar \tau_{\text{adm}}=42\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} e c=d/2=0,02\\ \mathrm{m}):
T_{\tau}=\frac{\tau_{\text{adm}}\,J}{c}=\frac{(42\times10^{6})(2{,}513274\times10^{-7})}{0,02}.
Calcule o numerador:
(42\times10^{6})\cdot(2{,}513274\times10^{-7})=42\cdot2{,}513274\times10^{-1}=105{,}5575\times10^{-1}=10{,}55575\\ \mathrm{N\cdot m}.
Agora dividir por c:
T_{\tau}=\frac{10{,}55575}{0,02}=527{,}7875\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando razoavelmente:
T_{\tau}\approx 528\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Calcular o torque limite imposto pelo ângulo admissível \theta_{\text{adm}}=2,5^\circ. Primeiro converter para radianos:
\theta_{\text{adm}}=2{,}5^\circ=\frac{2{,}5\pi}{180}\\ \text{rad}\approx 0{,}0436332313\\ \text{rad}.
Agora usar
T_{\theta}=\frac{\theta_{\text{adm}}\,J\,G}{L}.
Substituindo J\approx 2{,}513274\times10^{-7}\\ \mathrm{m^{4}}, G=80\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e L=1{,}3\\ \mathrm{m}:
J\,G=(2{,}513274\times10^{-7})\cdot(80\times10^{9})=2{,}513274\cdot80\times10^{2}=20106{,}192\\ (\text{unidades } \mathrm{N\cdot m^{2}}).
Multiplicando por \theta_{\text{adm}}:
\theta_{\text{adm}}\,J\,G\approx 0{,}0436332313\cdot20106{,}192\approx 877{,}330\\ \mathrm{N\cdot m}.
Finalmente dividir por L=1{,}3\\ \mathrm{m}:
T_{\theta}=\frac{877{,}330}{1{,}3}\approx 674{,}100\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando:
T_{\theta}\approx 674\\ \mathrm{N\cdot m}.

Passo 6

Comparar os dois limites:
T_{\tau}\approx 528\\ \mathrm{N\cdot m},\qquad T_{\theta}\approx 674\\ \mathrm{N\cdot m}.
A condição mais restritiva é a da tensão de cisalhamento (menor torque). Portanto o torque máximo permitido é
T_{\max}=T_{\tau}\approx 528\\ \mathrm{N\cdot m}.

Resposta

T_{\max}=528\\ \mathrm{N\cdot m}

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