Uma barra de aço é submetida a um carregamento cíclico tal que
\sigma_{\text {max }}=90 \mathrm{kpsi} e \sigma_{\text {min }}=10 \mathrm{kpsi}. Para o material, S_{u t}=115 \mathrm{kpsi}, S_{y}= 75 kpsi , o limite de resistência completamente corrigido é S_{e}= 55 kpsi e \mathrm{f}=0,9 (aquele f todo estilizado).
Estime o número de ciclos para falha por fadiga empregando:
O critério de Goodman modificado.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar o número de ciclos até a falha por fadiga usando o critério de Goodman modificado.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como vieram):
\sigma_{\text{max}} = 90\\ \text{kpsi}
\sigma_{\text{min}} = 10\\ \text{kpsi}
S_{ut} = 115\\ \text{kpsi}
S_{y} = 75\\ \text{kpsi}
S_{e} = 55\\ \text{kpsi}\quad\text{(limite de resistência completamente corrigido)}ê
f = 0,9
Observação que vou usar (padrão em muitos exercícios): o limite de resistência S_{e} corresponde à vida útil de N_{e}=10^{6} ciclos (ou seja, consideramos que S_{e} é a tensão alternante que corresponde a 10^{6} ciclos).

Passo 2

Calcular a tensão alternante e a tensão média do ciclo: explicando primeiro o que são.
  • A tensão alternante \sigma_{a} é metade da amplitude do ciclo: \sigma_{a} = (\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2.
  • A tensão média \sigma_{m} é a média dos extremos: \sigma_{m} = (\sigma_{\max}+\sigma_{\min})/2.
Aplicando aos números:
\sigma_{a} = \frac{90 - 10}{2} = \frac{80}{2} = 40\\ \text{kpsi}
\sigma_{m} = \frac{90 + 10}{2} = \frac{100}{2} = 50\\ \text{kpsi}

Passo 3

Explicar o critério de Goodman modificado e como transformamos o problema para um caso de tensão reversa (sem média).
O critério de Goodman modificado relaciona \sigma_{a}, \sigma_{m}, S_{e} e S_{ut} pela equação da linha de falha:
\frac{\sigma_{a}}{S_{e}} + \frac{\sigma_{m}}{S_{ut}} = 1 \quad\text{(para o limite de vida infinita)}
Para uma combinação dada (\sigma_{a},\sigma_{m}) podemos definir uma tensão alternante equivalente totalmente reversa \sigma_{a,\text{eq}} tal que, se aplicada sem média, produziria o mesmo dano segundo Goodman. A forma prática que usamos é:
\sigma_{a,\text{eq}} = \frac{\sigma_{a}}{1 - \dfrac{\sigma_{m}}{S_{ut}}}
(derivação rápida: exigir que \sigma_{a} com média \sigma_{m} tenha o mesmo efeito que \sigma_{a,\text{eq}} com média zero, e usar a linha de Goodman.)
Calculemos \sigma_{a,\text{eq}}:
1 - \frac{\sigma_{m}}{S_{ut}} = 1 - \frac{50}{115} = 1 - 0,4347826 = 0,5652174
\sigma_{a,\text{eq}} = \frac{40}{0,5652174} \approx 70{,}78\\ \text{kpsi}
Logo, o ciclo com \sigma_{a}=40\\ \text{kpsi} e \sigma_{m}=50\\ \text{kpsi} é equivalente, em termos de dano pela regra de Goodman, a um ciclo reverso com \sigma_{a,\text{eq}}\approx 70{,}78\\ \text{kpsi}.

Passo 4

Agora precisamos de uma lei S–N (Basquin) para ligar \sigma_{a} a N. A forma usada (Basquin) é:
\sigma_{a} = \sigma_{f}' (2N)^{b}
onde \sigma_{f}' é o coeficiente de resistência à fadiga (frequentemente aproximado por f\,S_{ut}) e b é o expoente de Basquin (negativo).
Explico as escolhas:
  • O enunciado deu f=0,9. Interpretamos isso como \sigma_{f}' = f\,S_{ut} = 0{,}9\,S_{ut}. Essa é uma aproximação comum: a constante de Basquin é da mesma ordem de S_{ut} multiplicada por um fator próximo de 1.
  • Vamos determinar b impondo que, para N_{e}=10^{6} ciclos, a tensão alternante dada pela lei de Basquin seja igual ao limite de resistência completamente corrigido S_{e}. Ou seja:
S_{e} = \sigma_{f}' (2N_{e})^{b}
Isolando b:
b = \frac{\log\!\left(\dfrac{S_{e}}{\sigma_{f}'}\right)}{\log(2N_{e})}
Substituindo valores numéricos:
\sigma_{f}' = f\,S_{ut} = 0{,}9 \times 115 = 103{,}5\\ \text{kpsi}
\frac{S_{e}}{\sigma_{f}'} = \frac{55}{103{,}5} \approx 0{,}531
2N_{e} = 2\times 10^{6} = 2{,}0\times 10^{6}
b = \frac{\log(0{,}531)}{\log(2{,}0\times 10^{6})} \approx \frac{-0{,}2757}{6{,}3010} \approx -0{,}0438
Portanto usamos b \approx -0{,}0438 e \sigma_{f}' = 103{,}5\\ \text{kpsi}.

Passo 5

Agora aplicamos Basquin ao caso equivalente de tensão reversa \sigma_{a,\text{eq}} para achar N. A equação é
\sigma_{a,\text{eq}} = \sigma_{f}' (2N)^{b}
Isolando N:
2N = \left(\frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{\sigma_{f}'}\right)^{1/b}
N = \frac{1}{2}\left(\frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{\sigma_{f}'}\right)^{1/b}
Compute os termos:
\frac{\sigma_{a,\text{eq}}}{\sigma_{f}'} = \frac{70{,}78}{103{,}5} \approx 0{,}684
Como b é negativo, a potência resultará em um número maior que 1:
(2N) = (0{,}684)^{1/(-0{,}0438)}.
Calcule numericamente (detalhe dos passos de logaritmo):
\ln(0{,}684) \approx -0{,}3807,\qquad \frac{1}{b}\approx -22{,}83
\ln(2N) = \frac{1}{b}\ln(0{,}684) \approx (-22{,}83)\times(-0{,}3807) \approx 8{,}69
2N \approx e^{8{,}69} \approx 5{,}9\times 10^{3}
N \approx \frac{5{,}9\times 10^{3}}{2} \approx 2{,}95\times 10^{3}
Arredondando de forma razoável:
N \approx 2{,}97\times 10^{3}\\ \text{ciclos}

Passo 6

Interpretação final (curta e sincera): com esse carregamento relativamente alto de média ( 50\\ \text{kpsi}) e usando Goodman modificado, a vida prevista é baixa, na ordem de poucos milhares de ciclos. Isso faz sentido físico: média alta reduz fortemente a capacidade de fadiga.

Resposta

N \approx 2{,}97\times 10^{3}\\ \text{ciclos}

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