Uma barra de alumínio de 2,0 m de comprimento não deve se alongar mais que 1 mm e a tensão normal não deve exceder 60 MPa quando a barra está submetida a uma força axial de 5 kN . Sabendo que E=80 GPa, determine o diâmetro necessário para a barra.

Passo 1

Vamos resolver um problema de resistência de materiais! Temos uma barra de alumínio com 2,0 metros de comprimento que não deve se alongar mais que 1 mm quando submetida a uma força axial de 5 kN. Além disso, a tensão normal na barra não pode exceder 60 MPa. Sabendo que o módulo de elasticidade $ E $ é 80 GPa, vamos descobrir qual o diâmetro necessário dessa barra. Para isso, vamos usar conceitos de tensão, deformação e a relação entre elas com o módulo de elasticidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre força ($ F F á A A ã \sigma $). A tensão é definida como a força aplicada dividida pela área da seção transversal da barra:
sigma
Queremos que a tensão não exceda 60 MPa, então vamos usar essa informação para encontrar a área mínima necessária.

Passo 3

Convertendo as unidades para ficar tudo em SI:
  • Força $ F = 5, kN = 5000, N $
  • Tensão máxima $ \sigma_{máx} = 60, MPa = 60 \times 10^6, Pa $
  • Módulo de elasticidade $ E = 80, GPa = 80 \times 10^9, Pa $

Passo 4

Usando a fórmula da tensão para achar a área:
A = Fsigmamáx = 500060 times 10^6 = 500060,000,000 approx 8,333 times 10^-5, m^2 á

Passo 5

Agora, vamos encontrar o diâmetro da barra a partir da área. A área de uma seção circular é:
A = pi d^24
Resolvendo para $ d $:
d

Passo 6

Agora, vamos verificar se o alongamento está dentro do limite de 1 mm. A fórmula do alongamento ($ \Delta L $) é:
De
Substituindo os valores:
De
Como o alongamento máximo permitido é 1 mm, precisamos ajustar o diâmetro para reduzir o alongamento.

Passo 7

Para que o alongamento seja no máximo 1 mm, ajustamos a fórmula:
1 times 10^-3 = 5000 times 2A times 80 times 10^9
Resolvendo para $ A $:
A

Passo 8

Calculando novamente o diâmetro com a nova área:
d = raiz4 times 1,25 times 10^-2pi = raiz5 times 10^-23,1416 approx raiz1,5915 times 10^-2 approx 0,126, m = 126, mm

Resposta

O diâmetro necessário para a barra de alumínio é de aproximadamente 126 mm para garantir que o alongamento não exceda 1 mm e a tensão não ultrapasse 60 MPa.

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