Uma barra de alumínio de 2,0 m de comprimento não deve se alongar mais que 1 mm e a tensão normal não deve exceder 60 MPa quando a barra está submetida a uma força axial de 5 kN . Sabendo que
, determine o diâmetro necessário para a barra.
Passo 1
Vamos resolver um problema de resistência de materiais! Temos uma barra de alumínio com 2,0 metros de comprimento que não deve se alongar mais que 1 mm quando submetida a uma força axial de 5 kN. Além disso, a tensão normal na barra não pode exceder 60 MPa. Sabendo que o módulo de elasticidade $ E $ é 80 GPa, vamos descobrir qual o diâmetro necessário dessa barra. Para isso, vamos usar conceitos de tensão, deformação e a relação entre elas com o módulo de elasticidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre força ($ F
A
\sigma $). A tensão é definida como a força aplicada dividida pela área da seção transversal da barra:
Queremos que a tensão não exceda 60 MPa, então vamos usar essa informação para encontrar a área mínima necessária.
Passo 3
Convertendo as unidades para ficar tudo em SI:
- Força $ F = 5, kN = 5000, N $
- Tensão máxima $ \sigma_{máx} = 60, MPa = 60 \times 10^6, Pa $
- Módulo de elasticidade $ E = 80, GPa = 80 \times 10^9, Pa $
Passo 4
Usando a fórmula da tensão para achar a área:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o diâmetro da barra a partir da área. A área de uma seção circular é:
Resolvendo para $ d $:
Passo 6
Agora, vamos verificar se o alongamento está dentro do limite de 1 mm. A fórmula do alongamento ($ \Delta L $) é:
Substituindo os valores:
Como o alongamento máximo permitido é 1 mm, precisamos ajustar o diâmetro para reduzir o alongamento.
Passo 7
Para que o alongamento seja no máximo 1 mm, ajustamos a fórmula:
Resolvendo para $ A $:
Passo 8
Calculando novamente o diâmetro com a nova área:
Resposta
O diâmetro necessário para a barra de alumínio é de aproximadamente 126 mm para garantir que o alongamento não exceda 1 mm e a tensão não ultrapasse 60 MPa.