Uma barra bi-engastada prismática
de comprimento total
sofre uma variação de temperatura positiva segundo a lei
, onde x corresponde a uma posição qualquer ao longo do comprimento da barra e
é o aumento na temperatura na extremidade
da barra. Admitindo que o módulo de elasticidade longitudinal
e o coeficiente de dilatação térmica linear
são constantes para toda barra, determine a máxima tensão normal atuante na barra, bem como a posição x em essa tensão ocorre. [Resposta:
compressão; ver solução].
Passo 1
O enunciado dá uma barra prismática bi-engastada de comprimento
com variação de temperatura ao longo do eixo dada por
onde
é a posição ao longo da barra medida desde a extremidade
(ou seja
) e
é o aumento de temperatura na extremidade
. O módulo de elasticidade longitudinal
e o coeficiente de dilatação térmica linear
são constantes na barra.
Perguntas pedidas: determinar (1) a máxima tensão normal atuante na barra e (2) a posição em que essa tensão ocorre.
Perguntas pedidas: determinar (1) a máxima tensão normal atuante na barra e (2) a posição
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. - Barra bi-engastada (as extremidades não se movem longitudinalmente).
-
e constantes. - Não há forças axiais externas distribuídas ao longo da barra (apenas reações nos engastes).
Passo 2
Vamos identificar as relações físicas que precisamos usar (explicando cada uma calmamente).
- Lei de Hooke uniaxial (para deformações elásticas pequenas): a tensão longitudinal
e a deformação mecânica elástica estão relacionadas por
Aqui
é a tensão normal (positiva em tração, negativa em compressão) e
é a parte da deformação atribuível às tensões (a “deformação mecânica”).
- Deformação total longitudinal em um ponto é soma da deformação mecânica e da deformação térmica (superposição linear válida para pequenas deformações):
- A deformação térmica livre (se a barra estivesse sem restrição) é dada por
Isto significa: se o material aquecer localmente por
, ele tentaria alongar-se localmente por
.
- Como as extremidades estão engastadas, o deslocamento axial total entre
e é zero. Em termos de deformação isso se expressa como compatibilidade:
Isto diz: a integral da deformação ao longo do comprimento (que dá o alongamento total) deve ser zero.
- Equilíbrio axial sem forças distribuídas: a força axial interna
(onde é a área da seção) é constante ao longo do eixo, logo a tensão é independente de (assumimos barra prismaticamente uniforme sem forças axiais distribuídas). Vou explicar esse ponto: se não há forças axiais aplicadas ao longo do comprimento, a soma das forças internas em qualquer fatia é nula, o que implica que a força axial é a mesma para todo corte; dividindo por , a tensão axial é constante. Portanto podemos escrever simplesmente (constante).
Passo 3
Escrevendo a relação entre tensão e deformações usando os itens anteriores:
A deformação total em um ponto é
pois
(mesmo
para todo
) e
.
Aplicamos a condição de compatibilidade (deslocamento total zero):
Passo 4
Calcule a integral e resolva para
. Primeiro separe os termos:
Como
é constante:
Logo
O sinal negativo indica que, se
(a barra tenta alongar), a tensão resultante será compressiva (σ negativo).
Passo 5
Agora use a expressão de
dada no enunciado:
Calcule a integral:
Passo 6
Substitua esse resultado em
:
Portanto a tensão é uniforme ao longo da barra e igual a
. O sinal negativo mostra que é uma tensão de compressão (a barra tenta se expandir, mas as restrições criam compressão).
Passo 7
Interprete o resultado quanto ao valor máximo e à posição onde ocorre:
- A tensão
é constante ao longo da barra (não depende de ), então a máxima tensão normal (em módulo) é . - Como
é constante, ela ocorre para todo — isto é, a mesma tensão compressiva em qualquer seção longitudinal.
Resposta
Ocorre para todo