A barra rígida
, de peso próprio desprezível, está rotulada em
, suspensa por dois cabos em D e B e é solicitada por uma força vertical
. Determine as tensões normais nos cabos 1 e 2. Dados:
. [Resposta: a)
].
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos (do enunciado e da figura):\n
- Pede: determinar as tensões normais nos cabos 1 e 2 (ou seja,
e ).\n - Dados numéricos:
, , , , .\n - Dados geométricos lidos da figura: distâncias ao longo da barra desde o apoio em
: , (posição da força ), . (Estou usando explicitamente essas posições porque as tirei da imagem fornecida.)\n - Observação: a barra é rígida e de peso desprezível; o apoio em
é um pino que fixa a posição vertical em mas permite rotação; os cabos 1 e 2 são verticais e ligados aos pontos e , respectivamente.
Passo 2
Equilíbrio de forças verticais (escrevendo as reações verticais):\n
Chamemos e
as forças de tração (positivas se em tração) nos cabos 1 e 2, e
a reação vertical no pino em
. A equação de equilíbrio vertical é\n
Chamemos
Essa equação sozinha não determina
e
(há 3 incógnitas), então precisamos de outra equação: equilíbrio de momentos.
Passo 3
Equilíbrio de momentos em relação ao ponto
(para eliminar
):\n
Tomando o momento positivo no sentido que torna a soma nula, a soma dos momentos das forças verticais em torno de deve ser zero:
Tomando o momento positivo no sentido que torna a soma nula, a soma dos momentos das forças verticais em torno de
Substituindo
(valores da figura) temos
Cancelar
(não nulo) dá a forma simples:
Esta é a segunda equação relacionando
e
.
Passo 4
Compatibilidade de deformações da barra rígida e relação força-deformação nos cabos (Lei de Hooke linear):\n
- A barra é rígida: sob pequena rotação
em torno de , o deslocamento vertical (para baixo) de um ponto da barra situado a uma distância de é, para pequeno ângulo, aproximadamente
Explicação didática: imagine a barra girando um pouquinho; quanto mais longe do pivô, maior o deslocamento vertical — e, para ângulos pequenos, a dependência é linear em
. O sinal e sentido não são essenciais aqui; o que importa é que as elongações são proporcionais às distâncias
.\n
- Cada cabo alonga-se da mesma quantidade que o ponto da barra desce (topo fixo). Assim, as elongações nos cabos são proporcionais às posições:
e .\n - Pela lei de Hooke (tração axial linear), a força axial em cada cabo vale
onde
é o módulo de Young do cabo
,
sua área,
seu comprimento inicial e
a elongação. Aqui
(dado), então
Passo 5
Relacionamento entre
e
eliminando
e
:\n
Dividindo as duas expressões:
Dividindo as duas expressões:
Como
por dado e substituindo
e
(da figura), obtemos
Substituindo os valores numéricos
e
:
Portanto
Passo 6
Resolver o sistema (equilíbrio de momentos com a relação entre
e
):\n
Substitua na equação de momentos
:
Substitua
Logo
Com
vem
E então
Passo 7
Calcular as tensões normais
e
:\n
Tensão axial é força sobre área:
Tensão axial é força sobre área:
Com
, obtemos
Os sinais positivos indicam tração nos cabos.