A barra rígida A B, de peso próprio desprezível, está rotulada em A, suspensa por dois cabos em D e B e é solicitada por uma força vertical \mathrm{P}=60 \mathrm{kN}. Determine as tensões normais nos cabos 1 e 2. Dados: \mathrm{L}_{1}=\mathrm{L}_{2} ; \mathrm{E}_{1}=90 \mathrm{GPa} ; \mathrm{E}_{2}= 180 \mathrm{GPa} ; \mathrm{A}_{1}=\mathrm{A}_{2}=5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}. [Resposta: a) \sigma_{1}=+20 \mathrm{MPa} ; \sigma_{2}=+80 \mathrm{MPa} ].

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos (do enunciado e da figura):\n
  • Pede: determinar as tensões normais nos cabos 1 e 2 (ou seja, \sigma_{1} e \sigma_{2}).\n
  • Dados numéricos: \;P=60\\ \mathrm{kN}, \;L_{1}=L_{2}, \;E_{1}=90\\ \mathrm{GPa}, \;E_{2}=180\\ \mathrm{GPa}, \;A_{1}=A_{2}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.\n
  • Dados geométricos lidos da figura: distâncias ao longo da barra desde o apoio em A: \;x_{D}=2d, \;x_{F}=3d (posição da força P), \;x_{B}=4d. (Estou usando explicitamente essas posições porque as tirei da imagem fornecida.)\n
  • Observação: a barra é rígida e de peso desprezível; o apoio em A é um pino que fixa a posição vertical em A mas permite rotação; os cabos 1 e 2 são verticais e ligados aos pontos D e B, respectivamente.

Passo 2

Equilíbrio de forças verticais (escrevendo as reações verticais):\n
Chamemos N_{1} e N_{2} as forças de tração (positivas se em tração) nos cabos 1 e 2, e R_{A} a reação vertical no pino em A. A equação de equilíbrio vertical é\n
R_{A}+N_{1}+N_{2}=P.
Essa equação sozinha não determina N_{1} e N_{2} (há 3 incógnitas), então precisamos de outra equação: equilíbrio de momentos.

Passo 3

Equilíbrio de momentos em relação ao ponto A (para eliminar R_{A}):\n
Tomando o momento positivo no sentido que torna a soma nula, a soma dos momentos das forças verticais em torno de A deve ser zero:
N_{1}\,x_{D}+N_{2}\,x_{B}-P\,x_{F}=0.
Substituindo x_{D}=2d,\;x_{F}=3d,\;x_{B}=4d (valores da figura) temos
2d\,N_{1}+4d\,N_{2}=3d\,P.
Cancelar d (não nulo) dá a forma simples:
2N_{1}+4N_{2}=3P.
Esta é a segunda equação relacionando N_{1} e N_{2}.

Passo 4

Compatibilidade de deformações da barra rígida e relação força-deformação nos cabos (Lei de Hooke linear):\n
  • A barra é rígida: sob pequena rotação \varphi em torno de A, o deslocamento vertical (para baixo) de um ponto da barra situado a uma distância x de A é, para pequeno ângulo, aproximadamente
\delta(x)=\varphi\,x.
Explicação didática: imagine a barra girando um pouquinho; quanto mais longe do pivô, maior o deslocamento vertical — e, para ângulos pequenos, a dependência é linear em x. O sinal e sentido não são essenciais aqui; o que importa é que as elongações são proporcionais às distâncias x.\n
  • Cada cabo alonga-se da mesma quantidade que o ponto da barra desce (topo fixo). Assim, as elongações nos cabos são proporcionais às posições: \Delta L_{1}=\varphi\,x_{D} e \Delta L_{2}=\varphi\,x_{B}.\n
  • Pela lei de Hooke (tração axial linear), a força axial em cada cabo vale
N_{i}=\frac{E_{i}A_{i}}{L_{i}}\,\Delta L_{i},\qquad i=1,2,
onde E_{i} é o módulo de Young do cabo i, A_{i} sua área, L_{i} seu comprimento inicial e \Delta L_{i} a elongação. Aqui L_{1}=L_{2}=L (dado), então
N_{1}=\frac{E_{1}A_{1}}{L}\,\varphi\,x_{D},\qquad N_{2}=\frac{E_{2}A_{2}}{L}\,\varphi\,x_{B}.

Passo 5

Relacionamento entre N_{1} e N_{2} eliminando \varphi e L:\n
Dividindo as duas expressões:
\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{E_{1}A_{1}\,x_{D}}{E_{2}A_{2}\,x_{B}}.
Como A_{1}=A_{2} por dado e substituindo x_{D}=2d e x_{B}=4d (da figura), obtemos
\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{E_{1}\cdot 2d}{E_{2}\cdot 4d}=\frac{E_{1}}{2E_{2}}.
Substituindo os valores numéricos \;E_{1}=90\\ \mathrm{GPa} e \;E_{2}=180\\ \mathrm{GPa}:
\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{90}{2\cdot 180}=\frac{90}{360}=\frac{1}{4}.
Portanto
N_{1}=\frac{1}{4}N_{2}.

Passo 6

Resolver o sistema (equilíbrio de momentos com a relação entre N_{1} e N_{2}):\n
Substitua N_{1}=\tfrac{1}{4}N_{2} na equação de momentos 2N_{1}+4N_{2}=3P:
2\left(\frac{1}{4}N_{2}\right)+4N_{2}=3P
\frac{2}{4}N_{2}+4N_{2}=\frac{1}{2}N_{2}+4N_{2}= \frac{9}{2}N_{2}=4{,}5\,N_{2}=3P.
Logo
N_{2}=\frac{3P}{4{,}5}=\frac{2}{3}\,P.
Com P=60\\ \mathrm{kN} vem
N_{2}=\frac{2}{3}\cdot 60\\ \mathrm{kN}=40\\ \mathrm{kN}.
E então
N_{1}=\frac{1}{4}N_{2}=\frac{1}{4}\cdot 40\\ \mathrm{kN}=10\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Calcular as tensões normais \sigma_{1} e \sigma_{2}:\n
Tensão axial é força sobre área:
\sigma_{i}=\frac{N_{i}}{A_{i}},\qquad i=1,2.
Com A_{1}=A_{2}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}, obtemos
\sigma_{1}=\frac{10\\ \mathrm{kN}}{5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}} =\frac{10\,000\\ \mathrm{N}}{5\times10^{-4}}=20\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=20\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}=\frac{40\\ \mathrm{kN}}{5\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}} =\frac{40\,000\\ \mathrm{N}}{5\times10^{-4}}=80\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}=80\\ \mathrm{MPa}.
Os sinais positivos indicam tração nos cabos.

Resposta

\sigma_{1}=+20\\ \mathrm{MPa}\n
\sigma_{2}=+80\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados