Sejam dados:
  • força \vec{F}_{1}=\{50 \vec{i}-43 \vec{j}+13 \vec{k}\} kN), aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2);
  • força \vec{F}_{2}, com intensidade de 70 kN, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+5 \vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3);
  • carga momento \vec{M}=\{-30 \vec{j}\} kNm.
Pede-se (comprimentos em m, forças em kN ):
Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga o ponto Q(0,-1,1) ao ponto R(1,-2,7).

Passo 1

Enunciado:
  • Força \vec{F}_{1}=\{50\vec{i}-43\vec{j}+13\vec{k}\} kN, aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2).
  • (Há também \vec{F}_{2} e \vec{M} no enunciado, mas não são necessárias para este cálculo.)
    Pergunta: Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga Q(0,-1,1) a R(1,-2,7).
    Dados relevantes recolhidos do enunciado:
\vec{F}_1=(50,\,-43,\,13)\\ \text{kN},\qquad P_1=(0,\,3,\,-2),
Q=(0,\,-1,\,1),\qquad R=(1,\,-2,\,7).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O momento de uma força em relação a um eixo é a projeção do momento vetor da força (em relação a um ponto qualquer do eixo) sobre a direção do eixo.
  • Primeiro calculamos o momento vetor em relação a um ponto do eixo, usando a fórmula da alavanca:
\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F},
onde \vec{r} é o vetor que vai de um ponto qualquer do eixo (aqui escolhemos Q) até o ponto de aplicação P_1, e \times é o produto vetorial (cross product).
  • Depois obtemos o momento em torno do eixo (valor escalar, com sinal) projetando \vec{M}_{O} sobre o vetor diretor \vec{v} do eixo:
M_{\text{eixo}}=\hat{u}\cdot\vec{M}_{O}=\frac{\vec{v}\cdot(\vec{r}\times\vec{F})}{\|\vec{v}\|},
onde \vec{v}= \overrightarrow{QR} e \hat{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\| é o versor do eixo.
Explicando variáveis: \vec{r} está em metros, \vec{F} em kN, então \vec{r}\times\vec{F} fica em kN·m; \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor diretor (em m). O sinal do resultado segue a regra da mão direita relativa à direção do versor \hat{u}.

Passo 3

Calcular \vec{r}=\overrightarrow{QP_1}=P_1-Q:
\vec{r}=(0-0,\;3-(-1),\;-2-1)=(0,\;4,\;-3)\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular o vetor diretor do eixo \vec{v}=\overrightarrow{QR}=R-Q e seu comprimento:
\vec{v}=(1-0,\;-2-(-1),\;7-1)=(1,\;-1,\;6).
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+6^{2}}=\sqrt{1+1+36}=\sqrt{38}.

Passo 5

Calcular o momento vetor \vec{M}_{Q}=\vec{r}\times\vec{F}_1. Usamos o determinante:
\vec{r}\times\vec{F}_1= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\[4pt] 0 & 4 & -3\\[4pt] 50 & -43 & 13 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\begin{aligned} M_{x} &= 4\cdot 13 - (-3)\cdot(-43)=52-129=-77,\\[4pt] M_{y} &= -\big(0\cdot 13 - (-3)\cdot 50\big) = -(0+150)=-150,\\[4pt] M_{z} &= 0\cdot(-43) - 4\cdot 50 = 0-200=-200. \end{aligned}
Portanto
\vec{M}_{Q}=\vec{r}\times\vec{F}_1 = (-77,\,-150,\,-200)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.]

Passo 6

Projetar \vec{M}_{Q} sobre a direção do eixo: calculamos \vec{v}\cdot\vec{M}_{Q} e dividimos por \|\vec{v}\|.
Produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{M}_{Q}=1\cdot(-77)+(-1)\cdot(-150)+6\cdot(-200)=-77+150-1200=-1127.
Portanto o momento escalar em torno do eixo é
M_{\text{eixo}}=\frac{\vec{v}\cdot(\vec{r}\times\vec{F}_1)}{\|\vec{v}\|} =\frac{-1127}{\sqrt{38}}\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Valor numérico aproximado (usar vírgula como separador decimal):
M_{\text{eixo}}\approx -182,82\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Interpretação do sinal: o resultado negativo indica que o sentido do momento produzido por \vec{F}_1 ao redor do eixo é o oposto ao do versor \hat{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\| (segue a regra da mão direita).

Resposta

-\dfrac{1127}{\sqrt{38}}\\ \text{kN}\cdot\text{m}\approx -182,82\\ \text{kN}\cdot\text{m}

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