força \vec{F}_{1}=\{50 \vec{i}-43 \vec{j}+13 \vec{k}\} kN), aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2);
força \vec{F}_{2}, com intensidade de 70 kN, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+5 \vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3);
carga momento \vec{M}=\{-30 \vec{j}\} kNm.
Pede-se (comprimentos em m, forças em kN ):
Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga o ponto Q(0,-1,1) ao ponto R(1,-2,7).
Passo 1
Enunciado:
Força \vec{F}_{1}=\{50\vec{i}-43\vec{j}+13\vec{k}\} kN, aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2).
(Há também \vec{F}_{2} e \vec{M} no enunciado, mas não são necessárias para este cálculo.)
Pergunta: Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga Q(0,-1,1) a R(1,-2,7).
Dados relevantes recolhidos do enunciado:
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
O momento de uma força em relação a um eixo é a projeção do momento vetor da força (em relação a um ponto qualquer do eixo) sobre a direção do eixo.
Primeiro calculamos o momento vetor em relação a um ponto do eixo, usando a fórmula da alavanca:
\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F},
onde \vec{r} é o vetor que vai de um ponto qualquer do eixo (aqui escolhemos Q) até o ponto de aplicação P_1, e \times é o produto vetorial (cross product).
Depois obtemos o momento em torno do eixo (valor escalar, com sinal) projetando \vec{M}_{O} sobre o vetor diretor \vec{v} do eixo:
onde \vec{v}= \overrightarrow{QR} e \hat{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\| é o versor do eixo.
Explicando variáveis: \vec{r} está em metros, \vec{F} em kN, então \vec{r}\times\vec{F} fica em kN·m; \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor diretor (em m). O sinal do resultado segue a regra da mão direita relativa à direção do versor \hat{u}.
Interpretação do sinal: o resultado negativo indica que o sentido do momento produzido por \vec{F}_1 ao redor do eixo é o oposto ao do versor \hat{u}=\vec{v}/\|\vec{v}\| (segue a regra da mão direita).