A barra abaixo é composta por um trecho em aço (AB) e outro em latão (BD). Determine as reações de apoio em A e D, quando todo o sistema sofre um aumento de temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Dados: \mathrm{E}_{\text {aço }}=210 \mathrm{GPa}; \alpha_{\text {aço }}=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}; \mathrm{A}_{\text {aço }}=16 \mathrm{~cm}^{2} ; \mathrm{E}_{\text {latão }}=105 \mathrm{GPa} ; \alpha_{\text {latão }}=19 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{A}_{\text {latão }}=9 \mathrm{~cm}^{2}\left[\right. Resposta: \mathrm{R}_{\text {HA }} =79,53 \mathrm{kN} para a direita; \mathrm{R}_{\mathrm{HD}}=44,53 \mathrm{kN} para a esquerda].
Passo 1
O enunciado pede as reações de apoio em A e D quando toda a barra (trecho em aço AB e trechos em latão BD) sofre um aumento de temperatura de 30^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos (vou listar e converter unidades para o SI):
Módulos de Young:E_{\text{aço}}=210\\ \mathrm{GPa}=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \quad E_{\text{latão}}=105\\ \mathrm{GPa}=105\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Coeficientes de dilatação:\alpha_{\text{aço}}=12\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}, \quad \alpha_{\text{latão}}=19\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}.
Áreas das seções transversais:A_{\text{aço}}=16\\ \mathrm{cm}^2=16\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2=0{,}0016\\ \mathrm{m}^2,
Geometrias (retiradas da figura): comprimento de aço L_{s}=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}; latão dividido em dois trechos L_{b1}=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m} e L_{b2}=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}. Total latão L_{b}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Aumento de temperatura: \Delta T=30^\circ\mathrm{C}.
Força externa aplicada no trecho direito (próxima a D): 35\\ \mathrm{kN} apontando para a esquerda (ou seja, empurra a barra contra o suporte em D).
Perguntas do enunciado:
Determinar as reações de apoio em A e D devido ao aquecimento conjunto e à força externa.
Observação: a barra está impedida de se alongar globalmente (apoios em A e D fixos), então a soma das dilatações livres é anulada por deformações elásticas causadas por tensões internas (situação estaticamente indeterminada que será resolvida por compatibilidade de deslocamentos).
Passo 2
Princípios e equações que vamos usar (explicando cada fórmula):
Dilatação térmica livre de um trecho homogêneo: a variação de comprimento livre (se não estivesse preso) é
\Delta L_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T\,L,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação (unidade 1/^\circ\mathrm{C}), \Delta T a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}) e L o comprimento do trecho (em m). Essa é a “tentativa” do material de alongar.
Deformação axial elástica causada por uma força axial compressiva de magnitude P (supondo força constante no trecho): a variação de comprimento é
\Delta L_{\text{mech}}=-\frac{P\,L}{E\,A}.
Aqui eu tomo o sinal negativo para indicar que uma força compressiva P>0 causa encurtamento (contrário à dilatação positiva). E é o módulo de Young (Pa), A é a área (m^2). Se a força fosse trativa (tensão), seria alongamento positivo; mas, fisicamente, as reações de apoio empurram a barra e criam compressão para impedir a dilatação térmica.
Condição de compatibilidade (extremidades fixas): a soma das variações de comprimento (térmicas + mecânicas) de todos os trechos deve ser zero:
Equilíbrio de forças (sum. horizontal): tomando forças positivas para a direita,
R_A + R_D - 35\,000 = 0,
onde R_A e R_D são as reações aplicadas pela parede sobre a barra (em N). Note: uma reação positiva significa que a parede aplica uma força para a direita no eixo (se a reação for para a esquerda, o valor numérico ficará negativo).
Comentários sobre o efeito do carregamento de 35\\ \mathrm{kN}: esse carregamento está aplicado no trecho direito (entre C e D), portanto a força interna compressiva é menor nesse último subtrecho do que nos trechos à esquerda do ponto de aplicação. Em termos de força compressiva (magnitude) P em todo o conjunto, é conveniente definir P como a força compressiva que atua nos trechos à esquerda do carregamento (ou seja, na porção aço AB e na porção de latão B–C). No trechinho mais à direita (entre C e D, comprimento L_{b2}) a força compressiva é reduzida pelo valor do carregamento 35\\ \mathrm{kN}: a compressão ali tem magnitude P - 35\,\mathrm{kN} (se P>35\,\mathrm{kN}).
Portanto, aplicando as fórmulas de dilatação e contrapartida elástica, a equação de compatibilidade fica:
Os dois primeiros termos somam as dilatações térmicas de cada trecho.
Entre colchetes temos os encurtamentos elásticos: nos trechos de comprimento L_s e L_{b1} a compressão é P; no último trecho L_{b2} a compressão é P-35\,000 (valores em N).
A incógnita P é a magnitude da força compressiva nos trechos à esquerda do carregamento, que coincide com a reação em A na direção para a direita (isto é, R_A=P para o sinal adotado: a parede em A empurra a barra para a direita com magnitude P). Após obter P, usando o equilíbrio teremos R_D=35\,000-R_A.
Passo 3
Agora montamos a equação com os valores numéricos. Primeiro calculamos as dilatações térmicas:
Dilatação térmica do aço:
\Delta L_{\text{th,s}}=\alpha_s\Delta T L_s = (12\times10^{-6})(30)(0{,}50) =1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Dilatação térmica total do latão (os dois trechos juntos 0{,}30+0{,}20=0{,}50\\ \mathrm{m}):
\Delta L_{\text{th,b}}=\alpha_b\Delta T L_b = (19\times10^{-6})(30)(0{,}50) =2{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Ou seja P\approx79{,}529\\ \mathrm{N} que é 79{,}529\\ \mathrm{N}=79{,}529/1000\\ \mathrm{kN}\approx79{,}529\\ \mathrm{N}=79{,}53\\ \mathrm{kN}.
Interpretando: P é a força compressiva que atua nos trechos à esquerda do carregamento; essa força é igual à reação que a parede em A aplica sobre a barra para a direita. Portanto
R_A = P \approx 79{,}53\\ \mathrm{kN}\\ \text{(para a direita)}.
Agora usamos o equilíbrio R_A+R_D-35\,\mathrm{kN}=0 para obter R_D:
O sinal negativo indica que a reação em D é para a esquerda, de magnitude 44{,}529\\ \mathrm{N}, ou seja 44{,}53\\ \mathrm{kN} para a esquerda.
Verificação rápida de equilíbrio global de forças (com sinais): R_A para a direita +79{,}529 N, R_D para a direita -44{,}529 N, e a carga externa é -35{,}000 N (pois atua para a esquerda); soma é zero.
Passo 4
Conclusão numérica final (valores arredondados conforme apresentado no enunciado):
R_A=79{,}53\\ \mathrm{kN} para a direita.
R_D=44{,}53\\ \mathrm{kN} para a esquerda.
Resposta
R_A=79{,}53\\ \mathrm{kN} para a direita R_D=44{,}53\\ \mathrm{kN} para a esquerda