A barra abaixo é composta por um trecho em aço (AB) e outro em latão (BD). Determine as reações de apoio em A e D, quando todo o sistema sofre um aumento de temperatura de 30^{\circ} \mathrm{C}. Dados: \mathrm{E}_{\text {aço }}=210 \mathrm{GPa}ç; \alpha_{\text {aço }}=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}ç; \mathrm{A}_{\text {aço }}=16 \mathrm{~cm}^{2} ; \mathrm{E}_{\text {latão }}=105 \mathrm{GPa} ; \alpha_{\text {latão }}=19 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{A}_{\text {latão }}=9 \mathrm{~cm}^{2}\left[\right.çããã Resposta: \mathrm{R}_{\text {HA }} =79,53 \mathrm{kN} para a direita; \mathrm{R}_{\mathrm{HD}}=44,53 \mathrm{kN} para a esquerda].

Passo 1

O enunciado pede as reações de apoio em A e D quando toda a barra (trecho em aço AB e trechos em latão BD) sofre um aumento de temperatura de 30^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos (vou listar e converter unidades para o SI):
  • Módulos de Young: E_{\text{aço}}=210\\ \mathrm{GPa}=210\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}, \quad E_{\text{latão}}=105\\ \mathrm{GPa}=105\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.çã
  • Coeficientes de dilatação: \alpha_{\text{aço}}=12\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}, \quad \alpha_{\text{latão}}=19\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}.çã
  • Áreas das seções transversais: A_{\text{aço}}=16\\ \mathrm{cm}^2=16\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2=0{,}0016\\ \mathrm{m}^2,ç
A_{\text{latão}}=9\\ \mathrm{cm}^2=9\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2=0{,}0009\\ \mathrm{m}^2.ã
  • Geometrias (retiradas da figura): comprimento de aço L_{s}=50\\ \mathrm{cm}=0{,}50\\ \mathrm{m}; latão dividido em dois trechos L_{b1}=30\\ \mathrm{cm}=0{,}30\\ \mathrm{m} e L_{b2}=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}. Total latão L_{b}=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Aumento de temperatura: \Delta T=30^\circ\mathrm{C}.
  • Força externa aplicada no trecho direito (próxima a D): 35\\ \mathrm{kN} apontando para a esquerda (ou seja, empurra a barra contra o suporte em D).
Perguntas do enunciado:
  • Determinar as reações de apoio em A e D devido ao aquecimento conjunto e à força externa.
Observação: a barra está impedida de se alongar globalmente (apoios em A e D fixos), então a soma das dilatações livres é anulada por deformações elásticas causadas por tensões internas (situação estaticamente indeterminada que será resolvida por compatibilidade de deslocamentos).

Passo 2

Princípios e equações que vamos usar (explicando cada fórmula):
  1. Dilatação térmica livre de um trecho homogêneo: a variação de comprimento livre (se não estivesse preso) é
\Delta L_{\text{th}}=\alpha\,\Delta T\,L,
onde \alpha é o coeficiente de dilatação (unidade 1/^\circ\mathrm{C}), \Delta T a variação de temperatura (em ^\circ\mathrm{C}) e L o comprimento do trecho (em m). Essa é a “tentativa” do material de alongar.
  1. Deformação axial elástica causada por uma força axial compressiva de magnitude P (supondo força constante no trecho): a variação de comprimento é
\Delta L_{\text{mech}}=-\frac{P\,L}{E\,A}.
Aqui eu tomo o sinal negativo para indicar que uma força compressiva P>0 causa encurtamento (contrário à dilatação positiva). E é o módulo de Young (Pa), A é a área (m^2). Se a força fosse trativa (tensão), seria alongamento positivo; mas, fisicamente, as reações de apoio empurram a barra e criam compressão para impedir a dilatação térmica.
  1. Condição de compatibilidade (extremidades fixas): a soma das variações de comprimento (térmicas + mecânicas) de todos os trechos deve ser zero:
\sum (\Delta L_{\text{th}} + \Delta L_{\text{mech}})=0.
  1. Equilíbrio de forças (sum. horizontal): tomando forças positivas para a direita,
R_A + R_D - 35\,000 = 0,
onde R_A e R_D são as reações aplicadas pela parede sobre a barra (em N). Note: uma reação positiva significa que a parede aplica uma força para a direita no eixo (se a reação for para a esquerda, o valor numérico ficará negativo).
Comentários sobre o efeito do carregamento de 35\\ \mathrm{kN}: esse carregamento está aplicado no trecho direito (entre C e D), portanto a força interna compressiva é menor nesse último subtrecho do que nos trechos à esquerda do ponto de aplicação. Em termos de força compressiva (magnitude) P em todo o conjunto, é conveniente definir P como a força compressiva que atua nos trechos à esquerda do carregamento (ou seja, na porção aço AB e na porção de latão B C). No trechinho mais à direita (entre C e D, comprimento L_{b2}) a força compressiva é reduzida pelo valor do carregamento 35\\ \mathrm{kN}: a compressão ali tem magnitude P - 35\,\mathrm{kN} (se P>35\,\mathrm{kN}).
Portanto, aplicando as fórmulas de dilatação e contrapartida elástica, a equação de compatibilidade fica:
\underbrace{\alpha_s\Delta T L_s}_{\text{aço, térmica}}+\underbrace{\alpha_b\Delta T(L_{b1}+L_{b2})}_{\text{latão, térmica}} -\left[ \frac{P\,L_s}{E_s A_s}+\frac{P\,L_{b1}}{E_b A_b}+\frac{(P-35\,000)\,L_{b2}}{E_b A_b} \right]=0.çéãé
Explicando termos:
  • Os dois primeiros termos somam as dilatações térmicas de cada trecho.
  • Entre colchetes temos os encurtamentos elásticos: nos trechos de comprimento L_s e L_{b1} a compressão é P; no último trecho L_{b2} a compressão é P-35\,000 (valores em N).
A incógnita P é a magnitude da força compressiva nos trechos à esquerda do carregamento, que coincide com a reação em A na direção para a direita (isto é, R_A=P para o sinal adotado: a parede em A empurra a barra para a direita com magnitude P). Após obter P, usando o equilíbrio teremos R_D=35\,000-R_A.

Passo 3

Agora montamos a equação com os valores numéricos. Primeiro calculamos as dilatações térmicas:
  • Dilatação térmica do aço:
\Delta L_{\text{th,s}}=\alpha_s\Delta T L_s = (12\times10^{-6})(30)(0{,}50) =1{,}8\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Dilatação térmica total do latão (os dois trechos juntos 0{,}30+0{,}20=0{,}50\\ \mathrm{m}):
\Delta L_{\text{th,b}}=\alpha_b\Delta T L_b = (19\times10^{-6})(30)(0{,}50) =2{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Soma das dilatações térmicas:
\Delta L_{\text{th,tot}}=1{,}8\times10^{-4}+2{,}85\times10^{-4}=4{,}65\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Agora os coeficientes elásticos das deformações (compliance por unidade força) para cada trecho:
  • Para o aço:
\frac{L_s}{E_s A_s}=\frac{0{,}50}{(210\times10^{9})(0{,}0016)} =1{,}488095\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}.
  • Para o latão, comprimento total L_b=0{,}50\\ \mathrm{m}:
\frac{L_b}{E_b A_b}=\frac{0{,}50}{(105\times10^{9})(0{,}0009)} =5{,}291005\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}.
  • Para o trecho direito do latão (onde o carregamento de 35\\ \mathrm{kN} está mais à esquerda do suporte D) de comprimento L_{b2}=0{,}20\\ \mathrm{m}:
\frac{L_{b2}}{E_b A_b}=\frac{0{,}20}{(105\times10^{9})(0{,}0009)} =2{,}116402\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}.
Definindo
C_{\text{tot}}=\frac{L_s}{E_sA_s}+\frac{L_b}{E_bA_b},
temos
C_{\text{tot}}=1{,}488095\times10^{-9}+5{,}291005\times10^{-9}=6{,}779100\times10^{-9}\\ \mathrm{m/N}.
A equação de compatibilidade (conforme explicada no passo 2) fica então:
\Delta L_{\text{th,tot}}-\left[P\,C_{\text{tot}}-(35\,000)\frac{L_{b2}}{E_bA_b}\right]=0.
Isolando P:
P\,C_{\text{tot}}= \Delta L_{\text{th,tot}} + (35\,000)\frac{L_{b2}}{E_bA_b}.
Substituindo os valores numéricos:
P = \frac{4{,}65\times10^{-4} + 35\,000\cdot(2{,}116402\times10^{-9})}{6{,}779100\times10^{-9}}.
Calculemos o termo com 35\,000:
35\,000\cdot(2{,}116402\times10^{-9})=7{,}407407\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Somando com \Delta L_{\text{th,tot}}:
4{,}65\times10^{-4}+7{,}407407\times10^{-5}=5{,}3907407\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Dividindo pelo C_{\text{tot}}:
P=\frac{5{,}3907407\times10^{-4}}{6{,}779100\times10^{-9}} \approx 79{,}529\\ \mathrm{N}.
Ou seja P\approx79{,}529\\ \mathrm{N} que é 79{,}529\\ \mathrm{N}=79{,}529/1000\\ \mathrm{kN}\approx79{,}529\\ \mathrm{N}=79{,}53\\ \mathrm{kN}.
Interpretando: P é a força compressiva que atua nos trechos à esquerda do carregamento; essa força é igual à reação que a parede em A aplica sobre a barra para a direita. Portanto
R_A = P \approx 79{,}53\\ \mathrm{kN}\\ \text{(para a direita)}.
Agora usamos o equilíbrio R_A+R_D-35\,\mathrm{kN}=0 para obter R_D:
R_D = 35{,}000 - R_A = 35{,}000 -79{,}529\\ \mathrm{N}=-44{,}529\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo indica que a reação em D é para a esquerda, de magnitude 44{,}529\\ \mathrm{N}, ou seja 44{,}53\\ \mathrm{kN} para a esquerda.
Verificação rápida de equilíbrio global de forças (com sinais): R_A para a direita +79{,}529 N, R_D para a direita -44{,}529 N, e a carga externa é -35{,}000 N (pois atua para a esquerda); soma é zero.

Passo 4

Conclusão numérica final (valores arredondados conforme apresentado no enunciado):
  • R_A=79{,}53\\ \mathrm{kN} para a direita.
  • R_D=44{,}53\\ \mathrm{kN} para a esquerda.

Resposta

R_A=79{,}53\\ \mathrm{kN} para a direita
R_D=44{,}53\\ \mathrm{kN} para a esquerda

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