Uma barra cilíndrica de 38 mm de diâmetro e 20 cm de comprimento sofre a ação de uma força de compressão de 200 kN . Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é E=9.000 \mathrm{kN} / \mathrm{cm}^{2} e o coeficiente de Poisson, \mathrm{u}=0,3, determinar o aumento de diâmetro da barra.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pedido: determinar o aumento do diâmetro da barra devido à compressão.
  • Dados fornecidos: \text{diâmetro inicial } d=38\\ \mathrm{mm},â
\text{comprimento } L=20\\ \mathrm{cm},
\text{força axial } P=200\\ \mathrm{kN},ç
\text{módulo de elasticidade } E=9{.}000\\ \mathrm{kN/cm^2},ó
\text{coeficiente de Poisson } \nu=0{,}3.
  • Observação importante: aqui E=9{.}000\\ \mathrm{kN/cm^2} significa E=9000\\ \mathrm{kN/cm^2}.
    (Pronto — listei o que foi pedido e todos os dados. Agora vamos resolver passo a passo.)

Passo 2

Primeiro uniformizar unidades para trabalhar com consistência. Vou usar centímetros ( \mathrm{cm}) e \mathrm{kN}/ \mathrm{cm}^2 para ficar compatível com E.
d=38\\ \mathrm{mm}=3{,}8\\ \mathrm{cm},
L=20\\ \mathrm{cm},
P=200\\ \mathrm{kN},
E=9000\\ \mathrm{kN/cm^2},\quad \nu=0{,}3.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal (círculo). Fórmula da área:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo d=3{,}8\\ \mathrm{cm}:
d^{2}=3{,}8^{2}=14{,}44,
\frac{d^{2}}{4}=3{,}61,
A=\pi\cdot 3{,}61\approx 3{,}1416\times 3{,}61\approx 11{,}341\\ \mathrm{cm^{2}}.
(Arredondei a área para três casas decimais: A\approx 11{,}341\\ \mathrm{cm^{2}}.)

Passo 4

Calcular a tensão axial média \sigma (força dividida pela área). Fórmula:
\sigma=\frac{P}{A}.
Substituindo P=200\\ \mathrm{kN} e A\approx 11{,}341\\ \mathrm{cm^{2}}:
\sigma=\frac{200}{11{,}341}\\ \mathrm{kN/cm^{2}}\approx 17{,}637\\ \mathrm{kN/cm^{2}}.
(Arredondei para 17{,}637\\ \mathrm{kN/cm^{2}}.)

Passo 5

Relacionar tensão e deformação axial pelo módulo de Young (Lei de Hooke). A deformação axial \varepsilon_{\ell} é dada por:
\varepsilon_{\ell}=\frac{\sigma}{E},
mas como a barra está em compressão, a deformação axial é negativa (encurta). Assim:
\varepsilon_{\ell}=-\frac{\sigma}{E}.
Substituindo valores:
\varepsilon_{\ell}=-\frac{17{,}637}{9000}\approx -0{,}0019597\approx -0{,}00196.
(Interpretação: a barra encolhe cerca de 0{,}196\% do seu comprimento.)

Passo 6

Aplicar o efeito de Poisson para obter a deformação lateral (radial). A relação de Poisson diz que a deformação lateral \varepsilon_{t} é:
\varepsilon_{t}=-\nu\,\varepsilon_{\ell}.
Explicação de sinais: \varepsilon_{\ell} é negativa (encurtamento), então \varepsilon_{t} ficará positiva (aumento do diâmetro). Substituindo:
\varepsilon_{t}=-0{,}3\times(-0{,}0019597)=0{,}0005879\approx 0{,}000588.
(A deformação lateral é adimensional; 0{,}000588 significa um aumento relativo de 0{,}0588\%.)

Passo 7

Calcular o aumento absoluto do diâmetro \Delta d. Relação:
\Delta d=\varepsilon_{t}\,d.
Substituindo \varepsilon_{t}\approx 0{,}0005879 e d=3{,}8\\ \mathrm{cm}:
\Delta d=0{,}0005879\times 3{,}8\\ \mathrm{cm}\approx 0{,}002234\\ \mathrm{cm}.
Converter para unidades mais usuais:
0{,}002234\\ \mathrm{cm}=0{,}02234\\ \mathrm{mm}=22{,}34\\ \mu\mathrm{m}.
(Arredondando com 3 casas significativas: \Delta d\approx 0{,}0223\\ \mathrm{mm} ou 22{,}3\\ \mu\mathrm{m}.)

Passo 8

Pequeno resumo e verificação rápida: o aumento lateral é pequeno (da ordem de algumas dezenas de micrômetros), o que é coerente para uma barra compressa com os dados dados. As etapas usadas foram: cálculo de tensão média, uso da Lei de Hooke para deformação axial e aplicação da relação de Poisson para a deformação lateral, depois multiplicação pela dimensão inicial para obter a variação absoluta.

Resposta

\Delta d = 0{,}0223\\ \mathrm{mm} (22{,}3\\ \mu\mathrm{m})

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