Esquematize as seguintes direções e planos na célula cúbica:
(101), (211), (012) e (313)
(101), (211), (012) e (313)
Passo 1
O enunciado pede que eu “esquematize as seguintes direções e planos na célula cúbica”:
,
,
e
.
Informações dadas (lista clara das coisas que vou usar):
Informações dadas (lista clara das coisas que vou usar):
- Os índices são os índices de Miller para planos e, em paralelo, os mesmos números formam vetores para direções (quando escritos entre colchetes, p.ex.
). - Vou trabalhar numa célula cúbica unitária (uso coordenadas fracionárias
com , onde é o parâmetro de rede). - Para cada item preciso descrever (i) o plano
dentro da célula (equação, interceptos, pontos de interseção com as arestas do cubo para desenhar) e (ii) a direção correspondente (vetor, como representá‑la dentro do cubo).
Passo 2
Conceito: como interpretar um plano
numa célula cúbica.
- Primeiro convertimos índices de Miller em interceptos em unidades da rede: os interceptos nas três direções são
(se algum índice for zero, o intercepto é infinito e o plano é paralelo ao eixo correspondente). - Em coordenadas fracionárias
(onde cada coordenada vai de a dentro da célula), a equação do plano é
Isso é muito prático: basta escrever a equação e achar as interseções com as arestas do cubo para desenhar o polígono que representa o plano dentro do cubo.
Exemplo rápido: para a equação será
, ou
. Zelo por esse método porque evita confusão com
e unidades.
Exemplo rápido: para
Passo 3
Conceito: como interpretar uma direção
.
- A direção
é um vetor paralelo ao que liga a origem ao ponto de coordenadas inteiras na rede direta (em unidades de ). - Para desenhar dentro da célula unitária (onde as coordenadas vão de
a ), é útil escalar o vetor por um fator
e traçar a seta de
até
. Isso coloca a ponta do vetor na fronteira do cubo (ou dentro dele), mantendo a mesma orientação. Se todos os componentes forem múltiplos de um mesmo inteiro, podemos dividir pelo máximo divisor comum para simplificar o triplete (por exemplo
=
).
Passo 4
Plano
:
- Índices:
. - Interpretação: interceptos
em unidades de . O para significa que o plano é paralelo ao eixo . - Equação em coordenadas fracionárias:
- Para desenhar dentro do cubo
, encontro as interseções com arestas cujas coordenadas são ou . Pontos de interseção (todos satisfazem e têm ou ):
Esses quatro pontos formam um paralelogramo diagonal que atravessa o cubo e que é paralelo ao eixo
. Para esboçar: ligue esses quatro pontos (paralelogramo inclinado).
Direção :
Direção
- Vetor inteiro
. Aqui então já cabe na célula: ponta em . Desenhe uma seta do origem até (essa reta é paralela ao plano ? Não necessariamente; direções são vetores, planos são superfícies; note que é normal ao plano mas não à — cuidado com confusões).
Passo 5
Plano
:
- Índices:
. - Interpretação: interceptos
. Então corta o eixo em , o eixo em e o eixo em . - Equação em coordenadas fracionárias:
- Interseções com arestas do cubo (resolver com
e pares de zeros/uns): pontos úteis para desenhar: - com eixo
( ): ; - com eixo
( ): ; - com eixo
( ): .
Também o plano irá intersectar outras arestas formando um triângulo/paralelogramo dentro do cubo; por exemplo interseções adicionais com arestasou dão pontos como , etc. Para desenhar, marque , , e ligue formando a face inclinada (um triângulo que ocupa parte do cubo).
Direção:
- com eixo
- Vetor inteiro
. Aqui , então uso para representar dentro do cubo: ponta em
Desenhe seta de
até
(essa é a mesma orientação de
, mas com ponta na face
do cubo).
Passo 6
Plano
:
- Índices:
. - Interpretação: interceptos
. O indica que o plano é paralelo ao eixo . - Equação em coordenadas fracionárias:
- Interseções com arestas do cubo:
- com o eixo
( ): ; - com o eixo
( ): .
Dentro do cubo a interseção forma um paralelogramo que é paralelo ao eixo(pois não aparece na equação). Pontos adicionais para desenhar: . Ligue-os em quadrilátero paralelo a .
Direção:
- com o eixo
- Vetor inteiro
. então dá ponta em
Desenhe seta do
até
(isto mostra a orientação da direção
com ponta na face
).
Passo 7
Plano
:
- Índices:
. - Interpretação: interceptos
. - Equação em coordenadas fracionárias:
- Interseções com arestas do cubo:
- com eixo
: ; - com eixo
: ; - com eixo
: .
Esses pontos, junto com as interseções correspondentes nas arestas opostas (por exemplo, , etc.), definem o paralelogramo/triângulo de corte dentro do cubo; é um plano bem inclinado, próximo de ser quase paralelo a mas cortando e cedo (em ). Para esboçar: marque , , e ligue conforme a equação (vai formar um polígono inclinado).
Direção:
- com eixo
- Vetor inteiro
. então e a ponta escalada é
Desenhe seta de
até
; isso representa a direção
com a ponta na face
.