Esquematize as seguintes direções e planos na célula cúbica:
(101), (211), (012) e (313)

Passo 1

O enunciado pede que eu “esquematize as seguintes direções e planos na célula cúbica”: (101), (211), (012) e (313).
Informações dadas (lista clara das coisas que vou usar):
  • Os índices são os índices de Miller para planos e, em paralelo, os mesmos números formam vetores para direções (quando escritos entre colchetes, p.ex. [101]).
  • Vou trabalhar numa célula cúbica unitária (uso coordenadas fracionárias (u,v,w) com u=x/a,\;v=y/a,\;w=z/a, onde a é o parâmetro de rede).
  • Para cada item preciso descrever (i) o plano (hkl) dentro da célula (equação, interceptos, pontos de interseção com as arestas do cubo para desenhar) e (ii) a direção correspondente [hkl] (vetor, como representá‑la dentro do cubo).

Passo 2

Conceito: como interpretar um plano (hkl) numa célula cúbica.
  • Primeiro convertimos índices de Miller em interceptos em unidades da rede: os interceptos nas três direções são \left(\dfrac{1}{h},\dfrac{1}{k},\dfrac{1}{l}\right) (se algum índice for zero, o intercepto é infinito e o plano é paralelo ao eixo correspondente).
  • Em coordenadas fracionárias (u,v,w) (onde cada coordenada vai de 0 a 1 dentro da célula), a equação do plano é
h\,u + k\,v + l\,w = 1.
Isso é muito prático: basta escrever a equação e achar as interseções com as arestas do cubo para desenhar o polígono que representa o plano dentro do cubo.
Exemplo rápido: para (101) a equação será 1\cdot u + 0\cdot v + 1\cdot w = 1, ou u+w=1. Zelo por esse método porque evita confusão com a e unidades.

Passo 3

Conceito: como interpretar uma direção [uvw].
  • A direção [u v w] é um vetor paralelo ao que liga a origem ao ponto de coordenadas inteiras (u,v,w) na rede direta (em unidades de a).
  • Para desenhar dentro da célula unitária (onde as coordenadas vão de 0 a 1), é útil escalar o vetor por um fator
t=\frac{1}{\max(|u|,|v|,|w|)}
e traçar a seta de O=(0,0,0) até t\,(u,v,w). Isso coloca a ponta do vetor na fronteira do cubo (ou dentro dele), mantendo a mesma orientação. Se todos os componentes forem múltiplos de um mesmo inteiro, podemos dividir pelo máximo divisor comum para simplificar o triplete (por exemplo [2\,2\,0] = [1\,1\,0]).

Passo 4

Plano (101):
  • Índices: h=1,\;k=0,\;l=1.
  • Interpretação: interceptos \left(\dfrac{1}{1},\infty,\dfrac{1}{1}\right)=(1,\infty,1) em unidades de a. O \infty para k=0 significa que o plano é paralelo ao eixo y.
  • Equação em coordenadas fracionárias:
u + w = 1.
  • Para desenhar dentro do cubo [0,1]^3, encontro as interseções com arestas cujas coordenadas são 0 ou 1. Pontos de interseção (todos satisfazem u+w=1 e têm v=0 ou v=1):
(1,0,0),\quad (0,0,1),\quad (1,1,0),\quad (0,1,1).
Esses quatro pontos formam um paralelogramo diagonal que atravessa o cubo e que é paralelo ao eixo y. Para esboçar: ligue esses quatro pontos (paralelogramo inclinado).
Direção [101]:
  • Vetor inteiro (1,0,1). Aqui \max=1 então já cabe na célula: ponta em (1,0,1). Desenhe uma seta do origem O=(0,0,0) até (1,0,1) (essa reta é paralela ao plano (101)? Não necessariamente; direções são vetores, planos são superfícies; note que [101] é normal ao plano (010) mas não à (101) — cuidado com confusões).

Passo 5

Plano (211):
  • Índices: h=2,\;k=1,\;l=1.
  • Interpretação: interceptos \left(\dfrac{1}{2},1,1\right). Então corta o eixo x em u=\tfrac12, o eixo y em v=1 e o eixo z em w=1.
  • Equação em coordenadas fracionárias:
2u + v + w = 1.
  • Interseções com arestas do cubo (resolver com u,v,w\in\{0,1\} e pares de zeros/uns): pontos úteis para desenhar:
    • com eixo x ( v=0,w=0 ): (\tfrac12,0,0);
    • com eixo y ( u=0,w=0 ): (0,1,0);
    • com eixo z ( u=0,v=0 ): (0,0,1).
      Também o plano irá intersectar outras arestas formando um triângulo/paralelogramo dentro do cubo; por exemplo interseções adicionais com arestas v=1 ou w=1 dão pontos como (0,\!1,\!0), (\tfrac12,1,0) etc. Para desenhar, marque (\tfrac12,0,0), (0,1,0), (0,0,1) e ligue formando a face inclinada (um triângulo que ocupa parte do cubo).
      Direção [211]:
  • Vetor inteiro (2,1,1). Aqui \max=2, então uso t=\tfrac12 para representar dentro do cubo: ponta em
t(2,1,1) = (1,\tfrac12,\tfrac12).
Desenhe seta de O até (1,\tfrac12,\tfrac12) (essa é a mesma orientação de [211], mas com ponta na face u=1 do cubo).

Passo 6

Plano (012):
  • Índices: h=0,\;k=1,\;l=2.
  • Interpretação: interceptos (\infty,1,\tfrac12). O h=0 indica que o plano é paralelo ao eixo x.
  • Equação em coordenadas fracionárias:
v + 2w = 1.
  • Interseções com arestas do cubo:
    • com o eixo y ( u=0,w=0 ): (0,1,0);
    • com o eixo z ( u=0,v=0 ): (0,0,\tfrac12).
      Dentro do cubo a interseção forma um paralelogramo que é paralelo ao eixo x (pois u não aparece na equação). Pontos adicionais para desenhar: (0,1,0), (0,0,\tfrac12), (1,1,0), (1,0,\tfrac12). Ligue-os em quadrilátero paralelo a x.
      Direção [012]:
  • Vetor inteiro (0,1,2). \max=2 então t=\tfrac12 dá ponta em
t(0,1,2) = (0,\tfrac12,1).
Desenhe seta do O até (0,\tfrac12,1) (isto mostra a orientação da direção [012] com ponta na face w=1).

Passo 7

Plano (313):
  • Índices: h=3,\;k=1,\;l=3.
  • Interpretação: interceptos \left(\tfrac{1}{3},1,\tfrac{1}{3}\right).
  • Equação em coordenadas fracionárias:
3u + v + 3w = 1.
  • Interseções com arestas do cubo:
    • com eixo x: (\tfrac13,0,0);
    • com eixo y: (0,1,0);
    • com eixo z: (0,0,\tfrac13).
      Esses pontos, junto com as interseções correspondentes nas arestas opostas (por exemplo (\tfrac13,1,0), (0,1,\tfrac13), etc.), definem o paralelogramo/triângulo de corte dentro do cubo; é um plano bem inclinado, próximo de ser quase paralelo a y mas cortando x e z cedo (em 1/3). Para esboçar: marque (\tfrac13,0,0), (0,1,0), (0,0,\tfrac13) e ligue conforme a equação (vai formar um polígono inclinado).
      Direção [313]:
  • Vetor inteiro (3,1,3). \max=3 então t=\tfrac13 e a ponta escalada é
t(3,1,3) = (1,\tfrac13,1).
Desenhe seta de O até (1,\tfrac13,1); isso representa a direção [313] com a ponta na face u=1.

Resposta

(101): plano \;u+w=1\; (interceptos (1,\infty,1)); pontos para desenhar (1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1). direção [101]: vetor (1,0,1), ponta em (1,0,1).\n
(211): plano \;2u+v+w=1\; (interceptos (\tfrac12,1,1)); pontos para desenhar (\tfrac12,0,0),(0,1,0),(0,0,1). direção [211]: vetor (2,1,1), ponta escalada em (1,\tfrac12,\tfrac12).\n
(012): plano \;v+2w=1\; (interceptos (\infty,1,\tfrac12)); pontos para desenhar (0,1,0),(0,0,\tfrac12),(1,1,0),(1,0,\tfrac12). direção [012]: vetor (0,1,2), ponta escalada em (0,\tfrac12,1).\n
(313): plano \;3u+v+3w=1\; (interceptos (\tfrac13,1,\tfrac13)); pontos para desenhar (\tfrac13,0,0),(0,1,0),(0,0,\tfrac13). direção [313]: vetor (3,1,3), ponta escalada em (1,\tfrac13,1).

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