Uma barra cilíndrica em alumínio com
de diâmetro deve ser deformada elasticamente pela aplicação de uma força ao longo do seu eixo. Aplicando os dados na Tabela 6.1, determine a força que produzirá uma redução elástica de
no diâmetro.
| Liga Metálica | GPa |
|
GPa |
|
Coeficiente de Poisson |
|---|---|---|---|---|---|
| Aço | 207 | 30 | 83 | 12,0 | 0,30 |
| Alumínio | 69 | 10 | 25 | 3,6 | 0,33 |
| Cobre | 110 | 16 | 46 | 6,7 | 0,34 |
| Latão | 97 | 14 | 37 | 5,4 | 0,34 |
| Magnésio | 45 | 6,5 | 17 | 2,5 | 0,29 |
| Níquel | 207 | 30 | 76 | 11,0 | 0,31 |
| Titânio | 107 | 15,5 | 45 | 6,5 | 0,34 |
| Tungstênio | 407 | 59 | 160 | 23,2 | 0,28 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes valores da Tabela 6.1):
- Pede: determinar a força que, aplicada ao longo do eixo de uma barra cilíndrica de alumínio, produzirá uma redução elástica do diâmetro de
. - Diâmetro inicial:
. - Redução do diâmetro (módulo):
. - Módulo de Young do alumínio (pegado da tabela):
. - Coeficiente de Poisson do alumínio (pegado da tabela):
.
Observações de unidades que vou usar: trabalhar em
e
(logo
).
Passo 2
Ideia física e definições de deformação:
- Ao aplicar uma força axial (tração) surge uma tensão axial
e uma deformação axial . - Devido ao efeito de Poisson, a barra sofre uma deformação transversal (lateral)
relacionada por
- Sinal:
quando o diâmetro reduz (pois ).
Passo 3
Lei de Hooke e relação tensão-deformação axial:
- Lei de Hooke (região elástica):
. - Tensão axial em termos da força
e da área da seção transversal :
Aqui
é o módulo de Young (
),
e
em
,
em
.
Passo 4
Relacionar a redução do diâmetro com a força — dedução algébrica:
- A deformação transversal é a variação relativa do diâmetro:
onde
(redução), então
.
- Usando
obtemos
- Como
, isolando vem
- Simplificando:
Passo 5
Conversão de unidades e valores numéricos a usar (tudo escrito em notação consistente):
-
. -
. -
. -
.
Passo 6
Cálculo passo a passo dos termos intermediários (mostrando contas para poder repetir na prova):
- Calcular a deformação transversal (sinal negativo porque é redução):
- Deformação axial:
- Tensão axial:
- Área da seção transversal:
- Força:
(ou, usando a fórmula direta,
leva ao mesmo resultado numérico).
Passo 7
Interpretação do resultado e forma final:
- A força calculada é da ordem de alguns quilonewtons; é uma força compatível com a pequena redução elástica pedida.
- Para a prova: memorize a sequência — usar Poisson para ligar deformações transversal e axial, Hooke para ligar deformação axial e tensão, e finalmente
.