Uma barra cilíndrica em alumínio com 19 \mathrm{~mm}(0,75 \mathrm{in}) de diâmetro deve ser deformada elasticamente pela aplicação de uma força ao longo do seu eixo. Aplicando os dados na Tabela 6.1, determine a força que produzirá uma redução elástica de 2,5 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}\left(1,0 \times 10^{-4} \mathrm{in}\right) no diâmetro.
Liga Metálica GPa 10^{6} \mathrm{psi} GPa 10^{6} \mathrm{psi} Coeficiente de Poisson
Aço 207 30 83 12,0 0,30
Alumínio 69 10 25 3,6 0,33
Cobre 110 16 46 6,7 0,34
Latão 97 14 37 5,4 0,34
Magnésio 45 6,5 17 2,5 0,29
Níquel 207 30 76 11,0 0,31
Titânio 107 15,5 45 6,5 0,34
Tungstênio 407 59 160 23,2 0,28

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes valores da Tabela 6.1):
  • Pede: determinar a força que, aplicada ao longo do eixo de uma barra cilíndrica de alumínio, produzirá uma redução elástica do diâmetro de \,2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro inicial: d = 19\\ \mathrm{mm}.
  • Redução do diâmetro (módulo): \Delta d = 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
  • Módulo de Young do alumínio (pegado da tabela): E = 69\\ \mathrm{GPa}.
  • Coeficiente de Poisson do alumínio (pegado da tabela): \nu = 0{,}33.
Observações de unidades que vou usar: trabalhar em \mathrm{mm} e \mathrm{N} (logo 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{N/mm}^2).

Passo 2

Ideia física e definições de deformação:
  • Ao aplicar uma força axial (tração) surge uma tensão axial \sigma e uma deformação axial \varepsilon_{\text{axial}}.
  • Devido ao efeito de Poisson, a barra sofre uma deformação transversal (lateral) \varepsilon_{\text{trans}} relacionada por
\varepsilon_{\text{trans}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{axial}}.
  • Sinal: \varepsilon_{\text{trans}}<0 quando o diâmetro reduz (pois \nu>0).

Passo 3

Lei de Hooke e relação tensão-deformação axial:
  • Lei de Hooke (região elástica): \varepsilon_{\text{axial}} = \dfrac{\sigma}{E}.
  • Tensão axial em termos da força F e da área da seção transversal A:
\sigma = \dfrac{F}{A},\qquad A = \dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Aqui E é o módulo de Young ( \mathrm{N/mm}^2), d e \Delta d em \mathrm{mm}, F em \mathrm{N}.

Passo 4

Relacionar a redução do diâmetro com a força — dedução algébrica:
  • A deformação transversal é a variação relativa do diâmetro:
\varepsilon_{\text{trans}}=\dfrac{\Delta d_{\text{real}}}{d},
onde \Delta d_{\text{real}}=d_{\text{final}}-d_{\text{inicial}}=-\,\Delta d (redução), então \varepsilon_{\text{trans}}=-\dfrac{\Delta d}{d}.
  • Usando \varepsilon_{\text{trans}}=-\nu\,\varepsilon_{\text{axial}} obtemos
\varepsilon_{\text{axial}}=\frac{\Delta d}{\nu\,d}.
  • Como \varepsilon_{\text{axial}}=\dfrac{F}{A E}, isolando F vem
F = \varepsilon_{\text{axial}}\,A\,E = \frac{\Delta d}{\nu\,d}\cdot\frac{\pi d^{2}}{4}\cdot E.
  • Simplificando:
\boxed{\,F = \dfrac{\pi E d\,\Delta d}{4\,\nu}\, }.

Passo 5

Conversão de unidades e valores numéricos a usar (tudo escrito em notação consistente):
  • E = 69\\ \mathrm{GPa} = 69{,}000\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • d = 19\\ \mathrm{mm}.
  • \Delta d = 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
  • \nu = 0{,}33.

Passo 6

Cálculo passo a passo dos termos intermediários (mostrando contas para poder repetir na prova):
  • Calcular a deformação transversal (sinal negativo porque é redução):
\varepsilon_{\text{trans}} = -\dfrac{\Delta d}{d} = -\dfrac{2{,}5\times10^{-3}}{19} \approx -1{,}3158\times10^{-4}.
  • Deformação axial:
\varepsilon_{\text{axial}} = -\dfrac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\nu} = \dfrac{2{,}5\times10^{-3}}{0{,}33\cdot19} \approx 3{,}9811\times10^{-4}.
  • Tensão axial:
\sigma = E\,\varepsilon_{\text{axial}} = 69{,}000\cdot 3{,}9811\times10^{-4} \approx 27{,}48\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • Área da seção transversal:
A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}=\dfrac{\pi\cdot 19^{2}}{4}\approx 283{,}53\\ \mathrm{mm^{2}}.
  • Força:
F=\sigma\,A \approx 27{,}48\cdot 283{,}53 \approx 7{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
(ou, usando a fórmula direta, F=\dfrac{\pi E d\Delta d}{4\nu} leva ao mesmo resultado numérico).

Passo 7

Interpretação do resultado e forma final:
  • A força calculada é da ordem de alguns quilonewtons; é uma força compatível com a pequena redução elástica pedida.
  • Para a prova: memorize a sequência — usar Poisson para ligar deformações transversal e axial, Hooke para ligar deformação axial e tensão, e finalmente \sigma=F/A.

Resposta

F \approx 7{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{N} (aproximadamente 7{,}80\\ \mathrm{kN}).

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