Para uma dada liga metálica, uma tensão verdadeira de 345 MPa ( 50.000 psi ) produz uma deformação plástica verdadeira de 0,02 . Se o comprimento original de um corpo de prova desse material é 500 \mathrm{~mm}(20 \mathrm{in}), quanto ele se alongará quando for aplicada uma tensão verdadeira de 415 MPa ( 60.000 psi )? Considere um valor de 0,22 para o coeficiente de encruamento n .

Passo 1

O enunciado pede para calcular quanto um corpo de prova se alongará quando submetido a uma tensão verdadeira de 415\\ \mathrm{MPa}, sabendo que para a mesma liga uma tensão verdadeira de 345\\ \mathrm{MPa} produz uma deformação plástica verdadeira de 0,02. Dados fornecidos:
  • Tensão verdadeira conhecida: \sigma_1 = 345\\ \mathrm{MPa}.
  • Deformação plástica verdadeira correspondente: \varepsilon_1 = 0,02.
  • Tensão verdadeira aplicada: \sigma_2 = 415\\ \mathrm{MPa}.
  • Comprimento inicial do corpo de prova: L_0 = 500\\ \mathrm{mm} (alternativamente 20\\ \mathrm{in}).
  • Coeficiente de encruamento: n = 0,22.
O que se pede:
  • Determinar o alongamento absoluto \Delta L quando a tensão verdadeira for \sigma_2 = 415\\ \mathrm{MPa}. É útil apresentar o resultado em milímetros (e opcionalmente em polegadas).

Passo 2

Modelo e estratégia (breve aula):
  • Para materiais submetidos a deformação plástica uniforme costuma-se usar a lei de Hollomon (lei de encruamento):
\sigma = K\,\varepsilon^{\,n},
onde:
  • \sigma é a tensão verdadeira (em \mathrm{MPa}),
  • \varepsilon é a deformação plástica verdadeira (adimensional; a mesma grandeza que \varepsilon=\ln(L/L_0) se a deformação for puramente plástica),
  • K é o coeficiente de resistência (ou coeficiente de encruamento) do material (em \mathrm{MPa}),
  • n é o expoente de encruamento (adimensional).
  • A relação entre deformação verdadeira e alongamento é:
\varepsilon_{\text{verdadeira}}=\ln\!\left(\frac{L}{L_0}\right).
Portanto, se encontrarmos a nova deformação verdadeira \varepsilon_2 associada a \sigma_2, o novo comprimento será L=L_0\mathrm{e}^{\varepsilon_2} e o alongamento absoluto será
\Delta L = L - L_0 = L_0\left(\mathrm{e}^{\varepsilon_2}-1\right).
Plano: (1) usar o par (\sigma_1,\varepsilon_1) para calcular K; (2) usar K e \sigma_2 para obter \varepsilon_2; (3) converter \varepsilon_2 em \Delta L.

Passo 3

Determinar K a partir de \sigma_1 e \varepsilon_1.
Da lei de Hollomon:
K=\frac{\sigma_1}{\varepsilon_1^{\,n}}.
Substituindo os valores conhecidos:
K=\frac{345\\ \mathrm{MPa}}{(0,02)^{0,22}}.
Calcular passo a passo (0,02)^{0,22}. Usando logaritmos:
\ln(0,02)=-3,912023\ldots
0,22\cdot\ln(0,02)=-0,860645\ldots
(0,02)^{0,22}=\mathrm{e}^{-0,860645\ldots}\approx0,42308.
Logo
K\approx\frac{345}{0,42308}\\ \mathrm{MPa}\approx815,6\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Determinar \varepsilon_2 a partir de \sigma_2 e K.
Reescrevendo a lei de Hollomon:
\varepsilon_2=\left(\frac{\sigma_2}{K}\right)^{\!1/n}.
Substituindo os valores:
\frac{\sigma_2}{K}=\frac{415}{815,6}\approx0,5088.
Como 1/n=1/0,22\approx4,54545, temos
\varepsilon_2=(0,5088)^{4,54545}.
Calculemos por logaritmos:
\ln(0,5088)\approx-0,67570,
4,54545\cdot(-0,67570)\approx-3,07182,
\varepsilon_2=\mathrm{e}^{-3,07182}\approx0,04648.
Portanto a deformação verdadeira correspondente a \sigma_2=415\\ \mathrm{MPa} é aproximadamente \varepsilon_2\approx0,04648.

Passo 5

Converter \varepsilon_2 em alongamento \Delta L.
O comprimento final é
L=L_0\,\mathrm{e}^{\varepsilon_2}.
Assim o alongamento absoluto é
\Delta L=L_0\left(\mathrm{e}^{\varepsilon_2}-1\right).
Substituindo L_0=500\\ \mathrm{mm} e \varepsilon_2=0,04648:
\mathrm{e}^{0,04648}\approx1,04760,
\Delta L=500\cdot(1,04760-1)=500\cdot0,04760\approx23,8\\ \mathrm{mm}.
Convertendo para polegadas (usando L_0=20\\ \mathrm{in}):
\Delta L_{\text{in}}=20\cdot(1,04760-1)=20\cdot0,04760\approx0,952\\ \mathrm{in}.

Resposta

\Delta L \approx 23,8\\ \mathrm{mm}
\Delta L \approx 0,952\\ \mathrm{in}

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