Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm , possui um revestimento isolante de espessura 20 mm . A temperatura no interior e na superfície do cilindro são respectivamente 800 K e 490 K . Determinar a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro, sendo que o isolante térmico é silicato de cálcio (
).
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a perda de calor por unidade de comprimento de uma barra cilíndrica com revestimento isolante, dado isso:
- diâmetro da barra metálica:
(logo raio interno é metade disso); - espessura do isolante:
(logo raio externo ); - temperatura no interior (na superfície interior do isolante / superfície do cilindro metálico):
(vou chamar de ); - temperatura na superfície externa do isolante:
(vou chamar de ); - condutividade térmica do isolante (silicato de cálcio):
.
O que se pede: calcular a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro (ou seja, a taxa de calor por metro de comprimento,
, no regime estacionário).
Passo 2
Entendendo a passagem de calor radial em um cilindro (a ideia física e a fórmula usada).
Quando o calor flui radialmente através de um anel cilíndrico de material homogêneo e em regime estacionário, a lei de condução de Fourier local é
Quando o calor flui radialmente através de um anel cilíndrico de material homogêneo e em regime estacionário, a lei de condução de Fourier local é
onde:
-
é a taxa de calor que atravessa uma superfície cilíndrica de raio (W); -
é a condutividade térmica do material (W/m·K); -
é a área através da qual o calor flui na seção cilíndrica de comprimento ; para um cilindro ; -
é o gradiente radial de temperatura.
No regime estacionário, a taxa de calor que atravessa qualquer superfície cilíndrica concêntrica é a mesma (independe de
). Para trabalhar por unidade de comprimento, definimos
(W/m). Assim:
Rearranjando e integrando entre os raios interno e externo obtemos (mostro os passos):
Integrando de
a
e de
a
:
Fazendo as integrais:
Isolando
:
Aqui:
é a perda de calor por unidade de comprimento (W/m),
e
são as temperaturas nos raios
e
respectivamente.
Passo 3
Converter as dimensões dadas em metros e definir
e
.
- diâmetro interno
. Portanto escrevo
- espessura do isolante
. Então
Temperaturas:
Passo 4
Calcular a diferença de temperatura e os termos numeradores/denominadores da fórmula.
Diferença de temperatura:
Diferença de temperatura:
Produto
:
Agora o numerador completo
:
Razão dos raios e seu logaritmo natural:
Passo 5
Substituir na fórmula e calcular
:
Realizando a divisão:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: o valor é a taxa de perda de calor por metro de comprimento do cilindro através do isolante, no regime estacionário. As unidades conferem: numerador em W/m dividido por adimensional dá W/m. O resultado faz sentido fisicamente: com diferença de temperatura de
e isolante relativamente espesso, a perda por metro fica na ordem de
. Força: você chegou até aqui — tá indo bem!