Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm , possui um revestimento isolante de espessura 20 mm . A temperatura no interior e na superfície do cilindro são respectivamente 800 K e 490 K . Determinar a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro, sendo que o isolante térmico é silicato de cálcio ( \mathrm{k}=0,089 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ).

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a perda de calor por unidade de comprimento de uma barra cilíndrica com revestimento isolante, dado isso:
  • diâmetro da barra metálica: \,12\\ \mathrm{mm} (logo raio interno r_i é metade disso);
  • espessura do isolante: \,20\\ \mathrm{mm} (logo raio externo r_o = r_i + 20\\ \mathrm{mm});
  • temperatura no interior (na superfície interior do isolante / superfície do cilindro metálico): \,800\\ \mathrm{K} (vou chamar de T_i);
  • temperatura na superfície externa do isolante: \,490\\ \mathrm{K} (vou chamar de T_o);
  • condutividade térmica do isolante (silicato de cálcio): \,k=0,089\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
O que se pede: calcular a perda de calor por unidade de comprimento do cilindro (ou seja, a taxa de calor por metro de comprimento, q', no regime estacionário).

Passo 2

Entendendo a passagem de calor radial em um cilindro (a ideia física e a fórmula usada).
Quando o calor flui radialmente através de um anel cilíndrico de material homogêneo e em regime estacionário, a lei de condução de Fourier local é
q_r = -k\,A(r)\,\frac{dT}{dr},
onde:
  • q_r é a taxa de calor que atravessa uma superfície cilíndrica de raio r (W);
  • k é a condutividade térmica do material (W/m·K);
  • A(r) é a área através da qual o calor flui na seção cilíndrica de comprimento L; para um cilindro A(r)=2\pi r L;
  • \dfrac{dT}{dr} é o gradiente radial de temperatura.
No regime estacionário, a taxa de calor que atravessa qualquer superfície cilíndrica concêntrica é a mesma (independe de r). Para trabalhar por unidade de comprimento, definimos q' = q_r/L (W/m). Assim:
q' = -k\,2\pi r\,\frac{dT}{dr}.
Rearranjando e integrando entre os raios interno e externo obtemos (mostro os passos):
\frac{dT}{dr} = -\frac{q'}{2\pi k}\cdot\frac{1}{r}.
Integrando de r_i a r_o e de T_i a T_o:
\int_{T_i}^{T_o} dT = -\frac{q'}{2\pi k}\int_{r_i}^{r_o}\frac{dr}{r}.
Fazendo as integrais:
T_o-T_i = -\frac{q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
Isolando q':
q' = \frac{2\pi k\,(T_i-T_o)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Aqui: q' é a perda de calor por unidade de comprimento (W/m), T_i e T_o são as temperaturas nos raios r_i e r_o respectivamente.

Passo 3

Converter as dimensões dadas em metros e definir r_i e r_o.
  • diâmetro interno =12\\ \mathrm{mm}\Rightarrow r_i=\dfrac{12}{2}\\ \mathrm{mm}=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}. Portanto escrevo
r_i = 0{,}006\\ \mathrm{m}.
  • espessura do isolante =20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}. Então
r_o = r_i + 0{,}020\\ \mathrm{m} = 0{,}006 + 0{,}020 = 0{,}026\\ \mathrm{m}.
Temperaturas:
T_i = 800\\ \mathrm{K},\qquad T_o = 490\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a diferença de temperatura e os termos numeradores/denominadores da fórmula.
Diferença de temperatura:
\Delta T = T_i - T_o = 800 - 490 = 310\\ \mathrm{K}.
Produto k\Delta T:
k\,\Delta T = 0{,}089\cdot 310 = 27{,}59\\ (\mathrm{W}/\mathrm{m}).
Agora o numerador completo 2\pi k\Delta T:
2\pi k\Delta T = 2\pi\cdot 27{,}59 \approx 173{,}42\\ (\mathrm{W}/\mathrm{m}).
Razão dos raios e seu logaritmo natural:
\frac{r_o}{r_i}=\frac{0{,}026}{0{,}006}=4{,}333333\dots
\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)=\ln(4{,}333333\dots)\approx 1{,}466337.

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular q':
q' = \frac{2\pi k\,(T_i-T_o)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)} = \frac{173{,}42}{1{,}466337}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Realizando a divisão:
q' \approx 118{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: o valor é a taxa de perda de calor por metro de comprimento do cilindro através do isolante, no regime estacionário. As unidades conferem: numerador em W/m dividido por adimensional dá W/m. O resultado faz sentido fisicamente: com diferença de temperatura de 310\\ \mathrm{K} e isolante relativamente espesso, a perda por metro fica na ordem de 10^2\\ \mathrm{W/m}. Força: você chegou até aqui — tá indo bem!

Resposta

\,118{,}3\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}

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