Um trem-bala move-se com velocidade de
para leste. O apito do trem emite um som com frequência 400 Hz . Considere a velocidade do som no referencial de repouso da atmosfera como
.
Considere agora que o trem move-se em uma trajetória circular. Qual a frequência do som percebida por alguém no centro da circunferência descrita pelo trem?
Considere agora que o trem move-se em uma trajetória circular. Qual a frequência do som percebida por alguém no centro da circunferência descrita pelo trem?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Velocidade do trem (módulo da velocidade):
. - Frequência do apito emitida pelo trem (frequência da fonte):
. - Velocidade do som no ar (referencial da atmosfera):
. - Situação geométrica: o trem descreve uma trajetória circular e a pessoa que escuta está situada exatamente no centro dessa circunferência.
- Pergunta: Qual a frequência do som percebida por essa pessoa (observador no centro)?
Passo 2
Entendendo fisicamente o efeito Doppler para som (passo-a-passo bem didático).
- O efeito Doppler para som aparece porque o movimento da fonte altera o espaçamento das frentes de onda no meio (ar), então o observador recebe frentes de onda com um espaçamento (comprimento de onda) diferente daquele emitido por uma fonte em repouso.
- Seja
o período do som emitido pela fonte. Temos . - Em ar em repouso, as frentes de onda se propagam com velocidade
. Se a fonte estiver parada, as frentes ficam separadas por . - Se a fonte se move na direção do observador com componente radial
(positivo quando a fonte vai em direção ao observador), durante um período a fonte se aproxima de uma frente anterior deslocando-se uma distância . Isso “encurta” a separação entre frentes na direção do observador para
- A frequência recebida pelo observador é a velocidade das ondas dividida pelo comprimento de onda recebido:
- Substituindo
obtemos a fórmula clássica para fonte em movimento (observador em repouso no fluido):
- Aqui explico cada símbolo para não restar dúvida:
é a frequência emitida pela fonte, é a frequência percebida pelo observador, é a velocidade do som no meio, e é a componente da velocidade da fonte ao longo da linha que liga fonte e observador (positiva quando a fonte se aproxima do observador). Essa fórmula assume regime não-relativístico (válido aqui, pois ).
Passo 3
Aplicando a geometria do problema para achar
.
- O trem descreve uma circunferência e o observador está no centro. A velocidade instantânea do trem é tangencial à circunferência.
- A linha que une a fonte (trem) ao observador (centro) é o raio; a velocidade tangencial é perpendicular ao raio. Logo o ângulo entre a velocidade do trem e a direção radial é
. - A componente radial da velocidade é dada por
, onde é o ângulo entre a velocidade e a linha fonte→observador. - Como
, temos , portanto
Passo 4
Substituindo
na fórmula do Doppler.
- Da fórmula obtida:
- com
obtemos
Passo 5
Interpretação física e observações rápidas (pra você se sentir seguro na prova).
- Fisicamente: quando a fonte se move perpendicular à linha de visão, ela não se aproxima nem se afasta do observador, então as frentes de onda não ficam compactadas nem espalhadas na direção do observador — por isso não há alteração da frequência percebida no caso clássico do som.
- Observação sobre efeitos relativísticos: existe um efeito transverso doppler em relatividade (devido à dilatação do tempo) que produziria uma pequena mudança mesmo para movimento perpendicular, mas ele é desprezível aqui porque
é muito menor que (somente concernente à luz; para som usualmente não se considera esse efeito). Para testes de graduação em exatas não se precisa incluir esse detalhe a menos que explicitamente pedido.