Um trem-bala move-se com velocidade de 60 \mathrm{~m} / \\mathrm{s} para leste. O apito do trem emite um som com frequência 400 Hz . Considere a velocidade do som no referencial de repouso da atmosfera como 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Considere agora que o trem move-se em uma trajetória circular. Qual a frequência do som percebida por alguém no centro da circunferência descrita pelo trem?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Velocidade do trem (módulo da velocidade): v_s = 60\\ \mathrm{m/s}.
  • Frequência do apito emitida pelo trem (frequência da fonte): f = 400\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade do som no ar (referencial da atmosfera): c = 340\\ \mathrm{m/s}.
  • Situação geométrica: o trem descreve uma trajetória circular e a pessoa que escuta está situada exatamente no centro dessa circunferência.
  • Pergunta: Qual a frequência do som percebida por essa pessoa (observador no centro)?

Passo 2

Entendendo fisicamente o efeito Doppler para som (passo-a-passo bem didático).
  • O efeito Doppler para som aparece porque o movimento da fonte altera o espaçamento das frentes de onda no meio (ar), então o observador recebe frentes de onda com um espaçamento (comprimento de onda) diferente daquele emitido por uma fonte em repouso.
  • Seja T o período do som emitido pela fonte. Temos T = 1/f.
  • Em ar em repouso, as frentes de onda se propagam com velocidade c. Se a fonte estiver parada, as frentes ficam separadas por \lambda = cT.
  • Se a fonte se move na direção do observador com componente radial v_{\text{rad}} (positivo quando a fonte vai em direção ao observador), durante um período T a fonte se aproxima de uma frente anterior deslocando-se uma distância v_{\text{rad}}T. Isso “encurta” a separação entre frentes na direção do observador para
\lambda' = (c - v_{\text{rad}})\,T.
  • A frequência recebida pelo observador é a velocidade das ondas dividida pelo comprimento de onda recebido:
f' = \frac{c}{\lambda'} = \frac{c}{(c - v_{\text{rad}})\,T}.
  • Substituindo T = 1/f obtemos a fórmula clássica para fonte em movimento (observador em repouso no fluido):
f' = f\cdot\frac{c}{c - v_{\text{rad}}}.
  • Aqui explico cada símbolo para não restar dúvida: f é a frequência emitida pela fonte, f' é a frequência percebida pelo observador, c é a velocidade do som no meio, e v_{\text{rad}} é a componente da velocidade da fonte ao longo da linha que liga fonte e observador (positiva quando a fonte se aproxima do observador). Essa fórmula assume regime não-relativístico (válido aqui, pois v_s\ll c).

Passo 3

Aplicando a geometria do problema para achar v_{\text{rad}}.
  • O trem descreve uma circunferência e o observador está no centro. A velocidade instantânea do trem é tangencial à circunferência.
  • A linha que une a fonte (trem) ao observador (centro) é o raio; a velocidade tangencial é perpendicular ao raio. Logo o ângulo entre a velocidade do trem e a direção radial é 90^\circ.
  • A componente radial da velocidade é dada por v_{\text{rad}} = v_s\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre a velocidade e a linha fonte→observador.
  • Como \theta = 90^\circ, temos \cos 90^\circ = 0, portanto
v_{\text{rad}} = v_s\cos 90^\circ = v_s\cdot 0 = 0.

Passo 4

Substituindo v_{\text{rad}}=0 na fórmula do Doppler.
  • Da fórmula obtida:
f' = f\cdot\frac{c}{c - v_{\text{rad}}}
  • com v_{\text{rad}} = 0 obtemos
f' = f\cdot\frac{c}{c - 0} = f\cdot\frac{c}{c} = f.

Passo 5

Interpretação física e observações rápidas (pra você se sentir seguro na prova).
  • Fisicamente: quando a fonte se move perpendicular à linha de visão, ela não se aproxima nem se afasta do observador, então as frentes de onda não ficam compactadas nem espalhadas na direção do observador — por isso não há alteração da frequência percebida no caso clássico do som.
  • Observação sobre efeitos relativísticos: existe um efeito transverso doppler em relatividade (devido à dilatação do tempo) que produziria uma pequena mudança mesmo para movimento perpendicular, mas ele é desprezível aqui porque v_s é muito menor que c (somente concernente à luz; para som usualmente não se considera esse efeito). Para testes de graduação em exatas não se precisa incluir esse detalhe a menos que explicitamente pedido.

Resposta

400\\ \mathrm{Hz}

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