Uma barra cilíndrica feita de aço
), que possui uma resistência ao escoamento de 310 MPa (45.000 psi), deve ser submetida a uma carga de
. Se o comprimento da barra é de
, qual deve ser seu diâ. metro para permitir um alongamento de
(0,015 in)?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra cilíndrica de aço com algumas propriedades específicas e queremos descobrir qual deve ser o diâmetro dela para que ela se alongue 0,38 mm quando submetida a uma carga de 11.100 N. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais e física básica para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que foi dado no problema:
- Módulo de Young do aço,
- Carga aplicada,
- Comprimento da barra,
- Alongamento desejado,
Nosso objetivo é encontrar o diâmetro
da barra que permita esse alongamento.
Passo 3
Vamos lembrar a fórmula que relaciona o alongamento (
) de uma barra com a carga aplicada (
), o comprimento (
), o módulo de Young (
) e a área da seção transversal (
):
Precisamos encontrar
, então vamos rearranjar essa fórmula para isolar a área
.
Passo 4
A área da seção transversal de uma barra cilíndrica é dada por:
Vamos substituir essa expressão na fórmula do alongamento:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Passo 7
Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o sistema internacional:
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
Denominador:
Então:
Mas isso está claramente muito grande para uma barra. Vamos verificar se houve algum erro nas unidades ou no cálculo.
Passo 9
Percebi que houve um erro no cálculo do denominador. Vamos refazer essa parte:
Denominador correto:
Agora, vamos refazer o cálculo de
:
Isso ainda parece grande. Vamos verificar novamente os cálculos com mais cuidado.
Passo 10
Vamos refazer todo o cálculo com atenção:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Agora, dividindo:
Tirando a raiz quadrada:
Ainda parece grande. Vamos considerar se a fórmula está correta e se as unidades estão consistentes.
Passo 11
Revisando a fórmula:
Substituindo novamente com as unidades corretas:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
O diâmetro da barra deve ser aproximadamente 9,48 mm para permitir um alongamento de 0,38 mm quando submetida à carga de 11.100 N.