Uma barra cilíndrica feita de aço (E=207 GPa, 30 x 10^6 psi ), que possui uma resistência ao escoamento de 310 MPa (45.000 psi), deve ser submetida a uma carga de 11.100 N(2500 lbf). Se o comprimento da barra é de 500 mm(20,0 in), qual deve ser seu diâ. metro para permitir um alongamento de 0,38 mm (0,015 in)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra cilíndrica de aço com algumas propriedades específicas e queremos descobrir qual deve ser o diâmetro dela para que ela se alongue 0,38 mm quando submetida a uma carga de 11.100 N. Vamos usar conceitos de resistência dos materiais e física básica para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que foi dado no problema:
  • Módulo de Young do aço,
  • Carga aplicada,
  • Comprimento da barra,
  • Alongamento desejado,
Nosso objetivo é encontrar o diâmetro da barra que permita esse alongamento.

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula que relaciona o alongamento ( de) de uma barra com a carga aplicada ( ), o comprimento ( ), o módulo de Young ( ) e a área da seção transversal ( ):
Precisamos encontrar , então vamos rearranjar essa fórmula para isolar a área .

Passo 4

A área da seção transversal de uma barra cilíndrica é dada por:
A = pi cdot d^24
Vamos substituir essa expressão na fórmula do alongamento:
de

Passo 5

Agora, vamos resolver para de:
de
Multiplicando ambos os lados por d^2 = 4 cdot P cdot Lpi cdot E cdot de:
Então:

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar d = raiz4 cdot P cdot Lpi cdot E cdot de:

Passo 7

Vamos substituir os valores fornecidos na fórmula. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o sistema internacional:
  • d = raiz4 cdot 11.100 , N cdot 0,5 , mpi cdot 207 times 10^9 , Pa cdot 0,00038 , m
Substituindo na fórmula:

Passo 8

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
4 cdot 11.100 cdot 0,5 = 22.200
Denominador:
pi cdot 207 times 10^9 cdot 0,00038 approx 2,47 times 10^5
Então:
d = raiz22.2002,47 times 10^5 approx raiz0,09 approx 0,3 , m
Mas isso está claramente muito grande para uma barra. Vamos verificar se houve algum erro nas unidades ou no cálculo.

Passo 9

Percebi que houve um erro no cálculo do denominador. Vamos refazer essa parte:
Denominador correto:
pi cdot 207 times 10^9 cdot 0,00038 approx 2,47 times 10^5 times pi approx 7,76 times 10^5
Agora, vamos refazer o cálculo de d = raiz22.2007,76 times 10^5 approx raiz0,0286 approx 0,169 , m = 169 , mm :
Isso ainda parece grande. Vamos verificar novamente os cálculos com mais cuidado.

Passo 10

Vamos refazer todo o cálculo com atenção:
d = raiz4 cdot 11.100 , N cdot 0,5 , mpi cdot 207 times 10^9 , Pa cdot 0,00038 , m
Calculando o numerador:
4 cdot 11.100 cdot 0,5 = 22.200
Calculando o denominador:
pi cdot 207 times 10^9 cdot 0,00038 approx 3,14 cdot 207 times 10^9 cdot 0,00038 approx 2,47 times 10^5
Agora, dividindo:
22.2002,47 times 10^5 approx 0,0897
Tirando a raiz quadrada:
d = raiz0,0897 approx 0,2995 , m = 299,5 , mm
Ainda parece grande. Vamos considerar se a fórmula está correta e se as unidades estão consistentes.

Passo 11

Revisando a fórmula:
d = raiz4 cdot P cdot Lpi cdot E cdot de
Substituindo novamente com as unidades corretas:
P = 11.100 , N
L = 0,5 , m
E = 207 times 10^9 , Pa
de
Calculando o numerador:
4 cdot 11.100 cdot 0,5 = 22.200
Calculando o denominador:
pi cdot 207 times 10^9 cdot 0,00038 approx 3,14 cdot 207 times 10^9 cdot 0,00038 approx 247.000.000
Então:
d = raiz22.200247.000.000 approx raiz0,0000897 approx 0,00948 , m = 9,48 , mm

Resposta

O diâmetro da barra deve ser aproximadamente 9,48 mm para permitir um alongamento de 0,38 mm quando submetida à carga de 11.100 N.

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