Uma barra de 3 cm de diâmetro e 50 cm de comprimento untada com óleo lubrificante de viscosidade cinemática 5 \times 10-4 \mathrm{~m} (óleo SAE-30 à temperatura ambiente de 20^{\circ} \mathrm{C} ) é introduzida num tubo horizontal de diâmetro interno de 3,1 cm e empurrada com velocidade constante de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determinar a força que deve ser exercida.
Dados adicionais: g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \gamma_{\text {oteo }}=9000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

Enunciado e dados importantes (tudo em unidades SI):\n
  • Barra de diâmetro \;D_b=0,03\\ \mathrm{m} e comprimento \;L=0,50\\ \mathrm{m}.\n
  • Tubo de diâmetro interno \;D_t=0,031\\ \mathrm{m}.\n
  • Velocidade de deslocamento da barra \;U=1,0\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Viscosidade cinemática do óleo \;\nu=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.\n
  • Peso específico do óleo \;\gamma_{\text{óleo}}=9000\\ \mathrm{N/m^{3}}.\n
  • Aceleração da gravidade \;g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n\n
    O que o problema pede: determinar a força que deve ser exercida para empurrar a barra com velocidade constante dentro do tubo (ou seja, calcular a força viscosa de arrasto fornecida pelo filme de óleo).

Passo 2

Estratégia física e aproximação utilizada (explicação didática):\n
  • Entre a barra e o tubo existe um espaço anular muito fino. Quando a barra é deslocada axialmente num fluido viscoso, o mecanismo dominante de resistência é o cisalhamento viscoso no filme de óleo (efeito Couette).\n
  • Para filmes muito finos podemos aproximar localmente a região por um escoamento entre duas placas paralelas separadas por distância igual à espessura do filme h: a parede móvel (barra) com velocidade U e a parede fixa (tubo) com velocidade zero. Nesse caso a velocidade varia aproximadamente de forma linear com a distância (perfil linear), e o esforço cortante é dado por \tau=\mu\,\frac{du}{dy}\approx\mu\,\frac{U}{h}.\n
  • Vamos usar essa aproximação porque a folga é pequena (diferença de diâmetros é pequena). Vou justificar a linearidade verificando o número de Reynolds do filme no Passo 4.\n
  • Precisamos também do coeficiente de viscosidade dinâmico \mu. Ele se obtém pela relação entre viscosidade cinemática \nu e densidade \rho: \mu=\rho\,\nu, e \rho=\gamma/g.

Passo 3

Cálculo da densidade do óleo e da viscosidade dinâmica:\n
  • Densidade do óleo:\n
\rho=\frac{\gamma_{\text{óleo}}}{g}=\frac{9000}{9,81}=917,43\\ \mathrm{kg/m^{3}}.\n
(Explique: \gamma é peso específico em \mathrm{N/m^3}. Dividindo por g obtemos massa por volume, ou densidade.)\n
  • Viscosidade dinâmica:\n
\mu=\rho\,\nu=917,43\times5\times10^{-4}=0,4587\\ \mathrm{Pa\cdot s}.\n
(Explicação: \nu tem unidades \mathrm{m^2/s}, multiplicando por \rho \mathrm{kg/(m\cdot s)}=\mathrm{Pa\cdot s}.)

Passo 4

Cálculo da espessura do filme e verificação do regime (Reynolds):\n
  • Espessura do filme (metade da folga anular):\n
h=\frac{D_t-D_b}{2}=\frac{0,031-0,03}{2}=0,0005\\ \mathrm{m}.\n
  • Número de Reynolds típico do filme (característica h):\n
\mathrm{Re}=\frac{U\,h}{\nu}=\frac{1,0\times0,0005}{5\times10^{-4}}=1,0.\n
(Interpretação: \mathrm{Re}\approx1 é muito pequeno, portanto o escoamento é laminar e viscossidade domina — a aproximação de perfil linear é válida.)

Passo 5

Fórmula do esforço cortante e área de contato (explicação das fórmulas):\n
  • Em um fluido newtoniano o esforço cortante é proporcional à taxa de deformação: \tau=\mu\frac{du}{dy}. Aqui a taxa de deformação aproximada é \frac{U}{h}, então\n
\tau\approx\mu\,\frac{U}{h}.\n
  • A força viscosa total é o esforço cortante multiplicado pela área lateral da barra em contato com o filme. A área lateral da barra vale\n
A=\pi D_b L.\n
(Explique: usamos a área lateral porque o cisalhamento ocorre ao longo da superfície cilíndrica da barra.)

Passo 6

Cálculos numéricos intermediários:\n
  • Esforço cortante:\n
\tau=\mu\frac{U}{h}=0,4587\cdot\frac{1,0}{0,0005}=917,43\\ \mathrm{Pa}.\n
  • Área lateral da barra:\n
A=\pi D_b L=\pi\cdot0,03\cdot0,50=0,04712\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 7

Cálculo da força viscosa total (multiplicação final):\n
F=\tau\,A=917,43\times0,04712=43,22\\ \mathrm{N}.

Resposta

43,2\\ \mathrm{N}

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