Uma barra de 3 cm de diâmetro e 50 cm de comprimento untada com óleo lubrificante de viscosidade cinemática
(óleo SAE-30 à temperatura ambiente de
) é introduzida num tubo horizontal de diâmetro interno de 3,1 cm e empurrada com velocidade constante de
. Determinar a força que deve ser exercida.
Dados adicionais:
Dados adicionais:
Passo 1
Enunciado e dados importantes (tudo em unidades SI):\n
- Barra de diâmetro
e comprimento .\n - Tubo de diâmetro interno
.\n - Velocidade de deslocamento da barra
.\n - Viscosidade cinemática do óleo
.\n - Peso específico do óleo
.\n - Aceleração da gravidade
.\n\n
O que o problema pede: determinar a força que deve ser exercida para empurrar a barra com velocidade constante dentro do tubo (ou seja, calcular a força viscosa de arrasto fornecida pelo filme de óleo).
Passo 2
Estratégia física e aproximação utilizada (explicação didática):\n
- Entre a barra e o tubo existe um espaço anular muito fino. Quando a barra é deslocada axialmente num fluido viscoso, o mecanismo dominante de resistência é o cisalhamento viscoso no filme de óleo (efeito Couette).\n
- Para filmes muito finos podemos aproximar localmente a região por um escoamento entre duas placas paralelas separadas por distância igual à espessura do filme
: a parede móvel (barra) com velocidade e a parede fixa (tubo) com velocidade zero. Nesse caso a velocidade varia aproximadamente de forma linear com a distância (perfil linear), e o esforço cortante é dado por .\n - Vamos usar essa aproximação porque a folga é pequena (diferença de diâmetros é pequena). Vou justificar a linearidade verificando o número de Reynolds do filme no Passo 4.\n
- Precisamos também do coeficiente de viscosidade dinâmico
. Ele se obtém pela relação entre viscosidade cinemática e densidade : , e .
Passo 3
Cálculo da densidade do óleo e da viscosidade dinâmica:\n
- Densidade do óleo:\n
(Explique:
é peso específico em
. Dividindo por
obtemos massa por volume, ou densidade.)\n
- Viscosidade dinâmica:\n
(Explicação:
tem unidades
, multiplicando por
dá
.)
Passo 4
Cálculo da espessura do filme e verificação do regime (Reynolds):\n
- Espessura do filme (metade da folga anular):\n
- Número de Reynolds típico do filme (característica
):\n
(Interpretação:
é muito pequeno, portanto o escoamento é laminar e viscossidade domina — a aproximação de perfil linear é válida.)
Passo 5
Fórmula do esforço cortante e área de contato (explicação das fórmulas):\n
- Em um fluido newtoniano o esforço cortante é proporcional à taxa de deformação:
. Aqui a taxa de deformação aproximada é , então\n
- A força viscosa total é o esforço cortante multiplicado pela área lateral da barra em contato com o filme. A área lateral da barra vale\n
(Explique: usamos a área lateral porque o cisalhamento ocorre ao longo da superfície cilíndrica da barra.)
Passo 6
Cálculos numéricos intermediários:\n
- Esforço cortante:\n
- Área lateral da barra:\n
Passo 7
Cálculo da força viscosa total (multiplicação final):\n