Uma barra de comprimento próprio L=10 m move-se a v=0.5 c paralela à direção de movimento. Qual o comprimento medido por um observador em repouso?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dado: o comprimento próprio da barra é L_0 = 10\\ \mathrm{m}.
  • Dado: a barra move-se com velocidade v = 0{,}5\,c numa direção paralela ao seu comprimento.
  • Pergunta: qual o comprimento L medido por um observador em repouso (ou seja, num referencial em que a barra está se movendo)?

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo). Quando um objeto que tem um comprimento medido no seu próprio referencial (chamado comprimento próprio) se move em relação a um observador, o observador mede um comprimento menor ao longo da direção do movimento — fenômeno chamado contração de comprimento. A fórmula que relaciona o comprimento medido L com o comprimento próprio L_0 é
L = \frac{L_0}{\gamma},
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
Explicando cada símbolo:
  • L_0 é o comprimento próprio: comprimento medido no referencial em que a barra está em repouso.
  • L é o comprimento medido pelo observador para o qual a barra está se movendo.
  • v é a velocidade relativa entre o observador e a barra.
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
    A forma alternativa, equivalente e às vezes mais direta para calcular L é
L = L_0 \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}.
Vou usar essa forma porque evita calcular e então inverter \gamma; é a mesma coisa algebraicamente.

Passo 3

Substituímos a velocidade dada na expressão v = 0{,}5\,c para calcular o termo dentro da raiz:
\dfrac{v^2}{c^2} = \left(0{,}5\right)^2 = 0{,}25.
Portanto
1 - \dfrac{v^2}{c^2} = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de contração usando o resultado do passo anterior:
L = L_0 \sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = 10 \times \sqrt{0{,}75}.
Calculemos \sqrt{0{,}75}. Sabemos que 0{,}75 = \dfrac{3}{4}, então
\sqrt{0{,}75} = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Uma aproximação numérica para \sqrt{3} é \sqrt{3}\approx 1{,}73205, então
\sqrt{0{,}75} \approx \dfrac{1{,}73205}{2} \approx 0{,}866025.

Passo 5

Multiplicamos pelo comprimento próprio:
L \approx 10 \times 0{,}866025 = 8{,}66025\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (útil em provas), obtemos
L \approx 8{,}66\\ \mathrm{m}.

Resposta

8{,}66\\ \mathrm{m}

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