Uma barra de comprimento próprio
m move-se a
paralela à direção de movimento. Qual o comprimento medido por um observador em repouso?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Dado: o comprimento próprio da barra é
. - Dado: a barra move-se com velocidade
numa direção paralela ao seu comprimento. - Pergunta: qual o comprimento
medido por um observador em repouso (ou seja, num referencial em que a barra está se movendo)?
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo). Quando um objeto que tem um comprimento medido no seu próprio referencial (chamado comprimento próprio) se move em relação a um observador, o observador mede um comprimento menor ao longo da direção do movimento — fenômeno chamado contração de comprimento. A fórmula que relaciona o comprimento medido
com o comprimento próprio
é
onde
é o fator de Lorentz definido por
Explicando cada símbolo:
-
é o comprimento próprio: comprimento medido no referencial em que a barra está em repouso. -
é o comprimento medido pelo observador para o qual a barra está se movendo. -
é a velocidade relativa entre o observador e a barra. -
é a velocidade da luz no vácuo.
A forma alternativa, equivalente e às vezes mais direta para calcularé
Vou usar essa forma porque evita calcular e então inverter
; é a mesma coisa algebraicamente.
Passo 3
Substituímos a velocidade dada na expressão
para calcular o termo dentro da raiz:
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de contração usando o resultado do passo anterior:
Calculemos
. Sabemos que
, então
Uma aproximação numérica para
é
, então
Passo 5
Multiplicamos pelo comprimento próprio:
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais (útil em provas), obtemos