Prove o efeito Doppler relativístico para luz no caso longitudinal:
para recessão, derivando a partir das transformações de Lorentz.
Passo 1
O enunciado pede que eu prove a fórmula do efeito Doppler relativístico para luz no caso longitudinal (recessão):
partindo das transformações de Lorentz. Informações e notação dadas/implicadas no enunciado:
-
é a frequência da luz no referencial da fonte (referencial ). -
é a frequência medida por um observador em movimento relativo (referencial ). -
, com sendo a velocidade relativa entre os referenciais e a velocidade da luz. - Trata-se do caso longitudinal e de recessão (ou seja, o observador afasta-se da fonte ao longo da direção da propagação da luz).
- O enunciado exige derivação a partir das transformações de Lorentz.
Passo 2
Conceito-chave que vou usar (explicado com calma): a fase de uma onda eletromagnética é invariante entre referenciais inerciais. Se a onda é dada por
no referencial
, a fase
é a mesma num outro referencial
(porque se mudarmos de referencial a própria oscilação física não muda). Isso permite definir o quadrivetor onda (4-vetor de frequência/onda)
onde
é a frequência angular (
) e
é o vetor de onda. Para luz no vácuo,
. Explico as variáveis:
-
é a frequência angular no referencial . -
é a frequência ordinária. -
tem componentes ; no caso longitudinal só preciso de .
A ideia: aplicar a transformação de Lorentz apara obter a componente temporal em , que dá (e então ).
Passo 3
Escrevo a transformação de Lorentz (para um eixo
com velocidade relativa
entre
e
) aplicada ao 4-vetor
. A componente temporal transformada é
onde
. Comentário didático: isso vem diretamente da regra geral de transformação de 4-vetores sob boost em
,
com
e
. Aqui
. A unidade está coerente: ambos
e
têm dimensões de
comprimento.
Passo 4
Agora uso a propriedade da luz longitudinal: se a onda se propaga ao longo de
no referencial
, então
. Substituo isso na fórmula do passo anterior:
Multiplicando por
obtém-se
Interpretação física: quando
(o referencial
se desloca na mesma direção de propagação da luz), o fator
reduz
— isto é, há desvio para o vermelho (recessão).
Passo 5
Relação entre
e
:
e
. Portanto a razão das frequências ordinárias é igual à razão das frequências angulares:
Isso é útil porque
pode ser simplificado de forma que apareça a raiz quadrada pedida na fórmula final.
Passo 6
Faço a simplificação algébrica para mostrar que
. Começo lembrando
. Então
Agora reescrevo o denominador:
Substituindo,
pois simplificamos um fator
dentro da raiz:
Passo 7
Juntando os resultados do passo 5 e do passo 6 obtemos a expressão desejada para a relação entre as frequências:
Multiplicando ambos os lados por
dá a fórmula final para a frequência observada na recessão longitudinal: