Prove o efeito Doppler relativístico para luz no caso longitudinal: \nu^{\prime}=\nu \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)} para recessão, derivando a partir das transformações de Lorentz.

Passo 1

O enunciado pede que eu prove a fórmula do efeito Doppler relativístico para luz no caso longitudinal (recessão):
\nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},
partindo das transformações de Lorentz. Informações e notação dadas/implicadas no enunciado:
  • \nu é a frequência da luz no referencial da fonte (referencial S).
  • \nu' é a frequência medida por um observador em movimento relativo (referencial S').
  • \beta=\dfrac{v}{c}, com v sendo a velocidade relativa entre os referenciais e c a velocidade da luz.
  • Trata-se do caso longitudinal e de recessão (ou seja, o observador afasta-se da fonte ao longo da direção da propagação da luz).
  • O enunciado exige derivação a partir das transformações de Lorentz.

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado com calma): a fase de uma onda eletromagnética é invariante entre referenciais inerciais. Se a onda é dada por \cos(\omega t - k x) no referencial S, a fase \varphi=\omega t - k x é a mesma num outro referencial S' (porque se mudarmos de referencial a própria oscilação física não muda). Isso permite definir o quadrivetor onda (4-vetor de frequência/onda)
K^\mu=\left(\frac{\omega}{c},\,\mathbf{k}\right),
onde \omega é a frequência angular ( \omega=2\pi\nu) e \mathbf{k} é o vetor de onda. Para luz no vácuo, |\mathbf{k}|=\dfrac{\omega}{c}. Explico as variáveis:
  • \omega é a frequência angular no referencial S.
  • \nu=\dfrac{\omega}{2\pi} é a frequência ordinária.
  • \mathbf{k} tem componentes (k_x,k_y,k_z); no caso longitudinal só preciso de k_x.
    A ideia: aplicar a transformação de Lorentz a K^\mu para obter a componente temporal em S', que dá \omega' (e então \nu').

Passo 3

Escrevo a transformação de Lorentz (para um eixo x com velocidade relativa v entre S e S') aplicada ao 4-vetor K^\mu. A componente temporal transformada é
\frac{\omega'}{c}=\gamma\!\left(\frac{\omega}{c}-\beta k_x\right),
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. Comentário didático: isso vem diretamente da regra geral de transformação de 4-vetores sob boost em x,
K^{\prime 0}=\gamma(K^0-\beta K^1),
com K^0=\dfrac{\omega}{c} e K^1=k_x. Aqui \beta=v/c. A unidade está coerente: ambos K^0 e K^1 têm dimensões de 1/comprimento.

Passo 4

Agora uso a propriedade da luz longitudinal: se a onda se propaga ao longo de +x no referencial S, então k_x=\dfrac{\omega}{c}. Substituo isso na fórmula do passo anterior:
\frac{\omega'}{c}=\gamma\!\left(\frac{\omega}{c}-\beta\frac{\omega}{c}\right) =\gamma\frac{\omega}{c}(1-\beta).
Multiplicando por c obtém-se
\omega'=\omega\,\gamma(1-\beta).
Interpretação física: quando \beta>0 (o referencial S' se desloca na mesma direção de propagação da luz), o fator (1-\beta) reduz \omega' — isto é, há desvio para o vermelho (recessão).

Passo 5

Relação entre \omega e \nu: \omega=2\pi\nu e \omega'=2\pi\nu'. Portanto a razão das frequências ordinárias é igual à razão das frequências angulares:
\frac{\nu'}{\nu}=\frac{\omega'}{\omega}=\gamma(1-\beta).
Isso é útil porque \gamma(1-\beta) pode ser simplificado de forma que apareça a raiz quadrada pedida na fórmula final.

Passo 6

Faço a simplificação algébrica para mostrar que \gamma(1-\beta)=\sqrt{\dfrac{1-\beta}{1+\beta}}. Começo lembrando \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. Então
\gamma(1-\beta)=\frac{1-\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}.
Agora reescrevo o denominador:
\sqrt{1-\beta^2}=\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}.
Substituindo,
\gamma(1-\beta)=\frac{1-\beta}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}},
pois simplificamos um fator (1-\beta) dentro da raiz:
\frac{1-\beta}{\sqrt{(1-\beta)(1+\beta)}}=\sqrt{\frac{(1-\beta)^2}{(1-\beta)(1+\beta)}}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.

Passo 7

Juntando os resultados do passo 5 e do passo 6 obtemos a expressão desejada para a relação entre as frequências:
\frac{\nu'}{\nu}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.
Multiplicando ambos os lados por \nu dá a fórmula final para a frequência observada na recessão longitudinal:
\nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}.

Resposta

\displaystyle \nu'=\nu\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}

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