Duas locomotivas em margens opostas de um canal, puxam um barco que se move paralelamente as margens deste, por meio de dois cabos. As forças nesses cabos são de 10 kN e 12 kN , enquanto que o ângulo entre eles é de 60^circ. Determine a força resultante no barco e o ângulo entre cada cabo e os lados do canal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas locomotivas em margens opostas de um canal puxando um barco com duas forças: uma de 10 kN e outra de 12 kN. O ângulo entre essas forças é de 60^circ. Nosso objetivo é descobrir qual é a força resultante que o barco sente e os ângulos que cada cabo faz com o lado do canal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e trigonometria, especialmente as leis dos cossenos e senos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas forças como vetores. Imagine que temos dois vetores partindo do mesmo ponto: um de 10 kN e outro de 12 kN, com um ângulo de 60^circ entre eles. Para encontrar a força resultante, precisamos somar esses dois vetores.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei dos Cossenos para encontrar a magnitude da força resultante ( R). A fórmula é:
R = raizF1^2 + F2^2 + 2 cdot F1 cdot F2 cdot cos(theta)
Onde:
  • F1 = 10 , kN
  • F2 = 12 , kN
  • theta = 60^circ

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
R = raiz10^2 + 12^2 + 2 cdot 10 cdot 12 cdot cos(60^circ)
Sabemos que cos(60^circ) = 0,5.
Então:
R = raiz100 + 144 + 2 cdot 10 cdot 12 cdot 0,5
R = raiz100 + 144 + 120
R = raiz364
R approx 19,08 , kN

Passo 5

Agora, para encontrar os ângulos que cada cabo faz com o lado do canal, vamos usar a Lei dos Senos. Vamos chamar os ângulos opostos às forças de 10 kN e 12 kN de alpha e beta respectivamente.
A Lei dos Senos diz:
sin(alpha)F2 = sin(beta)F1 = sin(theta)R
Vamos usar:
sin(alpha)12 = sin(60^circ)19,08
Resolvendo para alpha:
sin(alpha) = 12 cdot sin(60^circ)19,08
sin(alpha) = 12 cdot 0,866019,08
sin(alpha) approx 10,39219,08
sin(alpha) approx 0,544
alpha approx arcsin(0,544) approx 33^circ

Passo 6

Fazendo o mesmo para beta:
sin(beta)10 = sin(60^circ)19,08
Resolvendo para beta:
sin(beta) = 10 cdot sin(60^circ)19,08
sin(beta) = 10 cdot 0,866019,08
sin(beta) approx 8,6619,08
sin(beta) approx 0,454
beta approx arcsin(0,454) approx 27^circ

Resposta

A força resultante no barco é de aproximadamente 19,08 kN. Os ângulos que cada cabo faz com o lado do canal são de cerca de 33° e 27°.

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