Uma barra de diâmetro de 50 mm de aço SAE 1060, usinada, deve aguentar uma carga de tração flutuante variando de 20 a 80 kN . Por causa das extremidades e do raio de arredondamento, o fator de concentração de tensão de fadiga é de 1,65 . Encontre os coeficientes de segurança e as coordenadas Sa e Sm máximas para Lander, Gerber e Asmeeliptica. Sut =620 MPa, Sy =485 MPa

Passo 1

O enunciado dá uma barra de diâmetro d=50,mm de aço SAE 1060 submetida a uma carga de tração alternante que varia de 20 a 80 kN. Temos um fator de concentração de fadiga K_f=1,65, resistência à tração última S_{ut}=620,MPa e limite de escoamento S_{y}=485,MPa. Queremos calcular, para os critérios de Langer (reta de Goodman), Gerber (parábola) e elíptica (ASME),
  • o coeficiente de segurança n,
  • as coordenadas máximas \!S_a (quando S_m=0) e \!S_m (quando S_a=0) da curva de falha.
Para isso precisamos:
  1. Calcular a tensão média \sigma_m e alternante \sigma_a na seção bruta e aplicar K_f.
  2. Adotar um limite de resistência à fadiga (endurance limit) aproximado \displaystyle S_e = 0{,}5\,S_{ut}=310,MPa.
  3. Aplicar as fórmulas de cada critério para obter n e, em seguida, \displaystyle S_{a,\max}=n\,S_e e \displaystyle S_{m,\max}=n\,S_{ut} (ou n\,S_y para Soderberg, mas aqui Langer usa S_{ut}).

Passo 2

Cálculo das tensões na seção e correção por concentração:
A área da seção é
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(50\text{ mm})^2}{4} \approx 1963{,}5\text{ mm}^2\,.
As cargas média e alternante são
F_m = \frac{80+20}{2}\,\text{kN} = 50\,\text{kN}, \quad F_a = \frac{80-20}{2}\,\text{kN} = 30\,\text{kN}.
Logo as tensões brutas são
\sigma_m = \frac{F_m}{A} = \frac{50\,000\text{ N}}{1963{,}5\text{ mm}^2}\approx25{,}47\text{ MPa}, \quad \sigma_a = \frac{30\,000\text{ N}}{1963{,}5\text{ mm}^2}\approx15{,}28\text{ MPa}.
Aplicando o fator de concentração K_f=1,65:
\sigma_{m,k} = K_f\,\sigma_m \approx 1{,}65 \times 25{,}47 = 42{,}03\text{ MPa}, \quad \sigma_{a,k} = K_f\,\sigma_a \approx 1{,}65 \times 15{,}28 = 25{,}22\text{ MPa}.

Passo 3

Critério de Langer (reta de Goodman):
\frac{\sigma_{a,k}}{S_e} + \frac{\sigma_{m,k}}{S_{ut}} = \frac{1}{n} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{1}{\displaystyle\frac{\sigma_{a,k}}{S_e} + \frac{\sigma_{m,k}}{S_{ut}}}
Substituindo S_e=310,MPa, S_{ut}=620,MPa, \sigma_{a,k}=25{,}22 MPa, \sigma_{m,k}=42{,}03 MPa:
n = \frac{1}{\frac{25{,}22}{310} + \frac{42{,}03}{620}} = \frac{1}{0{,}08135 + 0{,}06779} \approx6{,}70.
As coordenadas máximas da reta de Goodman são
S_{a,\max} = n\,S_e = 6{,}70\times310 \approx2077\text{ MPa}, \quad S_{m,\max} = n\,S_{ut} = 6{,}70\times620 \approx4158\text{ MPa}.

Passo 4

Critério de Gerber (parabólico):
\frac{\sigma_{a,k}}{S_e} = \frac{1}{n}\Bigl(1 - \bigl(\tfrac{\sigma_{m,k}}{S_{ut}}\bigr)^2\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{1 - (\sigma_{m,k}/S_{ut})^2}{\sigma_{a,k}/S_e}.
Com \sigma_{m,k}/S_{ut}=42{,}03/620\approx0{,}06779 e \sigma_{a,k}/S_e=25{,}22/310\approx0{,}08135:
n = \frac{1 - (0{,}06779)^2}{0{,}08135} = \frac{0{,}99540}{0{,}08135} \approx12{,}24.
As coordenadas máximas do diagrama de Gerber são
S_{a,\max} = n\,S_e = 12{,}24\times310 \approx3793\text{ MPa}, \quad S_{m,\max} = n\,S_{ut} = 12{,}24\times620 \approx7585\text{ MPa}.

Passo 5

Critério elíptico (ASME):
\sqrt{\Bigl(\frac{\sigma_{a,k}}{S_e}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sigma_{m,k}}{S_{ut}}\Bigr)^2} = \frac{1}{n} \quad\Longrightarrow\quad n = \frac{1}{\sqrt{(\sigma_{a,k}/S_e)^2 + (\sigma_{m,k}/S_{ut})^2}}.
Calculando \sigma_{a,k}/S_e\approx0{,}08135, \sigma_{m,k}/S_{ut}\approx0{,}06779:
n = \frac{1}{\sqrt{0{,}08135^2 + 0{,}06779^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}00662 + 0{,}00460}} = \frac{1}{0{,}10592} \approx9{,}44.
As coordenadas máximas da elipse são
S_{a,\max} = n\,S_e = 9{,}44\times310 \approx2926\text{ MPa}, \quad S_{m,\max} = n\,S_{ut} = 9{,}44\times620 \approx5852\text{ MPa}.

Resposta

Langer (reta de Goodman): n\approx6{,}70, S_{a,\max}\approx2077,MPa, S_{m,\max}\approx4158,MPa.
Gerber (parábola): n\approx12{,}24, S_{a,\max}\approx3793,MPa, S_{m,\max}\approx7585,MPa.
Elíptica (ASME): n\approx9{,}44, S_{a,\max}\approx2926,MPa, S_{m,\max}\approx5852,MPa.

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