Uma barra de diâmetro
\mathrm{d}=28 \mathrm{~mm} e de 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. Um momento de torção aplicado a uma distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm} de uma das extremidades provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 39 MPa . Serão solicitadas as seguintes respostas:
A intensidade do momento de torção;
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento;
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Considerando os mesmos dados:
diâmetro \mathrm{d}=28 \mathrm{~mm}
distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm}
Tensão cisalh. =39 \mathrm{MPa}
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Forneça o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento.
Resposta:
Resposta
grau ◯
rad ◯
\mathrm{d}=28 \mathrm{~mm} e de 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. Um momento de torção aplicado a uma distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm} de uma das extremidades provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 39 MPa . Serão solicitadas as seguintes respostas:
A intensidade do momento de torção;
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento;
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Considerando os mesmos dados:
diâmetro \mathrm{d}=28 \mathrm{~mm}
distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm}
Tensão cisalh. =39 \mathrm{MPa}
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Forneça o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento.
Resposta
grau ◯
rad ◯
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que peguei do enunciado):
- Comprimento total da barra:
. - Diâmetro da barra:
. - Raio da barra:
. - Momento de torção aplicado num ponto situado a uma distância
de uma das extremidades. - A aplicação desse momento provoca uma tensão de cisalhamento máxima de
(ou seja ). - Módulo de cisalhamento:
(ou seja ).
O enunciado pede:
(a) a intensidade do momento de torção (isto é, o valor de );
(b) o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (querem o ângulo naquele ponto, vou fornecer em radianos e em graus).
(a) a intensidade do momento de torção (isto é, o valor de
(b) o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (querem o ângulo naquele ponto, vou fornecer em radianos e em graus).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando didaticamente):
- Para uma seção circular maciça, o momento polar de inércia (ou momento polar de segunda ordem)
é
Aqui
é o diâmetro em mm, e
ficará em
. Essa fórmula mede “quanta seção resiste à torção”.
- A tensão de cisalhamento máxima em seção circular sujeita a um torque interno
(ou ) é dada por
onde
é o raio da seção (em mm) e
é o torque interno em
. Essa relação vem da distribuição linear de esforços cortantes na seção circular sob torção.
- O ângulo de torção (rotação) ao longo de um segmento de comprimento
sob torque constante é
onde
é o módulo de cisalhamento (em
),
em
,
em
, e
em radianos. Essa fórmula é derivada da relação entre deformação de cisalhamento e rotação por unidade de comprimento.
Vou explicar também como a torção se distribui quando a barra está engastada nas duas extremidades e o torque é aplicado em um ponto interior:
- Se a barra está fixa nas duas extremidades e um torque
é aplicado numa seção interna a distância da extremidade esquerda (portanto distância da extremidade direita), reações de torção aparecem nas extremidades. Chamando as reações em módulo de (na extremidade esquerda) e (na direita), as condições estáticas e de compatibilidade (continuidade de rotação no ponto de aplicação e rotação zero nas extremidades) levam a:
e à igualdade das rotações no ponto (compatibilidade)
A partir dessas duas equações resolve-se para
e
, obtendo-se (em módulo)
Ou seja, os torques internos que atuam, em módulo, nas barras à esquerda e à direita do ponto de aplicação são
e
, respectivamente. A máxima tensão de cisalhamento ao longo da barra será proporcional ao maior desses valores; portanto o valor máximo de
será produzido na parte que sustenta o maior torque interno.
Passo 3
Calcular
(momento polar) para a seção circular com
.
Calculemos
:
Logo
Fazendo a multiplicação numérica (aproximando
):
Passo 4
Determinar qual torque interno produz a tensão de cisalhamento máxima
.
- Primeiro comparar
com :
Como
(isto é,
), o maior torque interno ao longo da barra será o da parte direita (entre o ponto de aplicação e a extremidade direita), cujo valor em módulo é
Portanto a tensão máxima registrada
relaciona-se com esse torque maior:
Isolando
:
Passo 5
Substituir valores para obter
. Lembrando que
,
,
,
,
.
Calculemos passo a passo:
- Numerador:
- Denominador:
Portanto
Convertendo para unidades mais usuais:
ou seja
(Para ficar limpo em notação compacta:
.)
Passo 6
Agora calcular o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento. Queremos a rotação da extremidade esquerda até o ponto de aplicação (ou seja, o ângulo que a porção esquerda gira até esse ponto). A rotação da porção esquerda é causada pelo torque interno nessa porção, que em módulo vale
A rotação acumulada até a distância
(do extremo esquerdo até o ponto de aplicação) é
Substituindo valores numéricos (usar
em
,
e
e
em
,
em
):
Calculemos passo a passo:
- Produto
. - Numerador completo:
. - Denominador:
.
Assim
Passo 7
Converter o ângulo para graus para ficar mais intuitivo:
Passo 8
Checagem rápida de ordem de grandeza (sanidade):
é cerca de
, isto é uma torção pequena, compatível com uma barra espessa e módulo de cisalhamento grande — está dentro do esperado.