Uma barra de diâmetro
\mathrm{d}=28 \mathrm{~mm} e de 1 m de comprimento está engastada nas duas extremidades. Um momento de torção aplicado a uma distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm} de uma das extremidades provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 39 MPa . Serão solicitadas as seguintes respostas:
A intensidade do momento de torção;
b) O ângulo de torção no ponto de aplicação do momento;
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Considerando os mesmos dados:
diâmetro \mathrm{d}=28 \mathrm{~mm}
distância \mathrm{a}=698 \mathrm{~mm}
Tensão cisalh. =39 \mathrm{MPa}
\mathrm{G}=76000 \mathrm{MPa}.
Forneça o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento.
Resposta:
Resposta
grau ◯
rad ◯

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (tudo que peguei do enunciado):
  • Comprimento total da barra: \,L=1{,}000\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro da barra: \,d=28\\ \mathrm{mm}.
  • Raio da barra: \,r=\dfrac{d}{2}=14\\ \mathrm{mm}.
  • Momento de torção aplicado num ponto situado a uma distância \,a=698\\ \mathrm{mm} de uma das extremidades.
  • A aplicação desse momento provoca uma tensão de cisalhamento máxima de \,\tau_{\max}=39\\ \mathrm{MPa} (ou seja \,39\\ \mathrm{N/mm^2}).
  • Módulo de cisalhamento: \,G=76\,000\\ \mathrm{MPa} (ou seja \,76\,000\\ \mathrm{N/mm^2}).
O enunciado pede:
(a) a intensidade do momento de torção (isto é, o valor de T);
(b) o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento (querem o ângulo naquele ponto, vou fornecer em radianos e em graus).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando didaticamente):
  • Para uma seção circular maciça, o momento polar de inércia (ou momento polar de segunda ordem) \,J é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Aqui d é o diâmetro em mm, e J ficará em \mathrm{mm^{4}}. Essa fórmula mede “quanta seção resiste à torção”.
  • A tensão de cisalhamento máxima em seção circular sujeita a um torque interno \,M (ou \,T) é dada por
\tau_{\max}=\frac{M\,r}{J},
onde r é o raio da seção (em mm) e M é o torque interno em \mathrm{N\cdot mm}. Essa relação vem da distribuição linear de esforços cortantes na seção circular sob torção.
  • O ângulo de torção (rotação) ao longo de um segmento de comprimento \ell sob torque constante \,M é
\varphi=\frac{M\,\ell}{G\,J},
onde G é o módulo de cisalhamento (em \mathrm{N/mm^{2}}), J em \mathrm{mm^{4}}, M em \mathrm{N\cdot mm}, e \varphi em radianos. Essa fórmula é derivada da relação entre deformação de cisalhamento e rotação por unidade de comprimento.
Vou explicar também como a torção se distribui quando a barra está engastada nas duas extremidades e o torque é aplicado em um ponto interior:
  • Se a barra está fixa nas duas extremidades e um torque T é aplicado numa seção interna a distância a da extremidade esquerda (portanto distância \,L-a da extremidade direita), reações de torção aparecem nas extremidades. Chamando as reações em módulo de R_L (na extremidade esquerda) e R_R (na direita), as condições estáticas e de compatibilidade (continuidade de rotação no ponto de aplicação e rotação zero nas extremidades) levam a:
R_L+R_R+T=0 \quad\text{(equilíbrio de torques)}í
e à igualdade das rotações no ponto (compatibilidade)
R_L\,a = R_R\,(L-a).
A partir dessas duas equações resolve-se para R_L e R_R, obtendo-se (em módulo)
R_L = -T\,\frac{L-a}{L},\qquad R_R = -T\,\frac{a}{L}.
Ou seja, os torques internos que atuam, em módulo, nas barras à esquerda e à direita do ponto de aplicação são T\,(L-a)/L e T\,a/L, respectivamente. A máxima tensão de cisalhamento ao longo da barra será proporcional ao maior desses valores; portanto o valor máximo de \tau será produzido na parte que sustenta o maior torque interno.

Passo 3

Calcular J (momento polar) para a seção circular com d=28\\ \mathrm{mm}.
J=\frac{\pi d^{4}}{32}=\frac{\pi(28)^{4}}{32}.
Calculemos 28^{4}:
28^{2}=784,\qquad 28^{4}=784^{2}=614\,656.
Logo
J=\frac{\pi\cdot 614\,656}{32}=\pi\cdot 19\,208.
Fazendo a multiplicação numérica (aproximando \pi\approx3{,}14159265):
J\approx 3{,}14159265\times 19\,208 \approx 60\,344\\ \mathrm{mm^{4}}.

Passo 4

Determinar qual torque interno produz a tensão de cisalhamento máxima \tau_{\max}=39\\ \mathrm{MPa}.
  • Primeiro comparar a com L-a:
a=698\\ \mathrm{mm},\qquad L-a=1\,000-698=302\\ \mathrm{mm}.
Como a> L/2 (isto é, a>500\\ \mathrm{mm}), o maior torque interno ao longo da barra será o da parte direita (entre o ponto de aplicação e a extremidade direita), cujo valor em módulo é
M_{\text{maior}}=T\frac{a}{L}.
Portanto a tensão máxima registrada \tau_{\max} relaciona-se com esse torque maior:
\tau_{\max}=\frac{M_{\text{maior}}\,r}{J}=\frac{\left(T\frac{a}{L}\right)r}{J}.
Isolando T:
T=\frac{\tau_{\max}\,L\,J}{a\,r}.

Passo 5

Substituir valores para obter T. Lembrando que \tau_{\max}=39\\ \mathrm{N/mm^{2}}, L=1\,000\\ \mathrm{mm}, J\approx60\,344\\ \mathrm{mm^{4}}, a=698\\ \mathrm{mm}, r=14\\ \mathrm{mm}.
T=\frac{39\cdot 1\,000\cdot 60\,344}{698\cdot 14}\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Calculemos passo a passo:
  • Numerador:
39\cdot 1\,000\cdot 60\,344=39\cdot 60\,344\,000=2\,353\,416\,000.
  • Denominador:
698\cdot 14=9\,772.
Portanto
T=\frac{2\,353\,416\,000}{9\,772}\\ \mathrm{N\cdot mm}\approx 240\,833\\ \mathrm{N\cdot mm}.
Convertendo para unidades mais usuais:
T\approx 240{,}833\\ \mathrm{N\cdot mm}=240{,}833/1{,}000\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 240{,}833\\ \mathrm{N\cdot mm}=240{,}833\times 10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 240{,}833\\ \mathrm{N\cdot mm},
ou seja
T\approx 240{,}833\\ \mathrm{N\cdot mm}\approx 240{,}833\\ \mathrm{N\cdot mm}\\ (\text{que é }240{,}833/1000\approx 240{,}833\\ \mathrm{N\cdot m}).é
(Para ficar limpo em notação compacta: T\approx 240{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.)

Passo 6

Agora calcular o ângulo de torção no ponto de aplicação do momento. Queremos a rotação da extremidade esquerda até o ponto de aplicação (ou seja, o ângulo que a porção esquerda gira até esse ponto). A rotação da porção esquerda é causada pelo torque interno nessa porção, que em módulo vale
R_L = T\frac{L-a}{L}.
A rotação acumulada até a distância a (do extremo esquerdo até o ponto de aplicação) é
\varphi=\frac{R_L\,a}{G\,J}=\frac{\left(T\frac{L-a}{L}\right)a}{G\,J}=\frac{T\,a\,(L-a)}{L\,G\,J}.
Substituindo valores numéricos (usar T em \mathrm{N\cdot mm}, a e L e J em \mathrm{mm}, G em \mathrm{N/mm^{2}}):
\varphi=\frac{240\,833\cdot 698\cdot 302}{1\,000\cdot 76\,000\cdot 60\,344}.
Calculemos passo a passo:
  • Produto a(L-a)=698\cdot 302=210\,796.
  • Numerador completo: 240\,833\cdot 210\,796\approx 50\,766\,544\,955{,}3.
  • Denominador: 1\,000\cdot 76\,000\cdot 60\,344 = 4\,586\,144\,000\,000.
Assim
\varphi\approx \frac{50\,766\,544\,955{,}3}{4\,586\,144\,000\,000}\approx 0{,}01107\\ \text{rad}.

Passo 7

Converter o ângulo para graus para ficar mais intuitivo:
\varphi_{\mathrm{deg}}=\varphi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 0{,}01107\cdot 57{,}2958\approx 0{,}634^\circ.

Passo 8

Checagem rápida de ordem de grandeza (sanidade): \,0{,}011\\ \text{rad} é cerca de 11\\ \text{mrad}, isto é uma torção pequena, compatível com uma barra espessa e módulo de cisalhamento grande — está dentro do esperado.

Resposta

\varphi \approx 0{,}634^\circ
\varphi \approx 0{,}01107\\ \text{rad}

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