Uma barra de ferro fundindo, de diâmetro d e comprimento L, é submetida a uma carga axial compressiva P. Determine:
P=204,204 \mathrm{kN}
a) O aumento \Delta d de seu diâmetro;
b) A diminuição \Delta L de seu comprimento.
Dados: d=75 \mathrm{~mm}, L=0,5 \mathrm{~m}, E=80 \mathrm{GPa} e v=0,3.

Passo 1

O enunciado pede dois resultados quando a barra é comprimida por uma carga axial:
  • (a) o aumento do diâmetro, \Delta d;
  • (b) a diminuição do comprimento, \Delta L.
Dados fornecidos (vou listar tudo para ficar claro):
P = 204,204\\ \mathrm{kN} \quad,\quad d = 75\\ \mathrm{mm} \quad,\quad L = 0,5\\ \mathrm{m}
E = 80\\ \mathrm{GPa} \quad,\quad \nu = 0,3
Observação de unidades: vou trabalhar no SI. Converto P para newtons e d para metros:
P = 204{,}204\\ \mathrm{kN} = 204\,204\\ \mathrm{N}
d = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}

Passo 2

Primeiro passo físico-matemático: calcular a área da seção transversal da barra (seção circular). Fórmula da área de um círculo:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}
onde A é a área em \mathrm{m}^2 e d é o diâmetro em metros.
Substituindo d=0{,}075\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0{,}075)^{2}}{4} \approx 0{,}004417865\\ \mathrm{m}^{2}

Passo 3

Agora calculamos a tensão axial média (compressiva) na barra. Fórmula:
\sigma = \frac{P}{A}
onde \sigma é a tensão em pascals ( \mathrm{Pa}), P é a força axial em newtons e A é a área em \mathrm{m}^2.
Substituindo P=204\,204\\ \mathrm{N} e o A calculado:
\sigma \approx \frac{204\,204}{0{,}004417865} \approx 46\,251\,719\\ \mathrm{Pa} \approx 46{,}25\\ \mathrm{MPa}
Comentário rápido: tensão compressiva positiva aqui é só convenção; para deformações usamos sinal apropriado a seguir.

Passo 4

Relação tensão-deformação axial (Lei de Hooke para regime elástico linear):
\varepsilon_{\text{axial}} = \frac{\sigma}{E}
onde \varepsilon_{\text{axial}} é a deformação axial (sem unidade), \sigma é a tensão em \mathrm{Pa} e E é o módulo de Young em \mathrm{Pa}.
Como a barra está comprimida, a deformação axial é negativa (encurtamento). Calculando com E = 80\\ \mathrm{GPa} = 80\times 10^{9}\\ \mathrm{Pa}:
\varepsilon_{\text{axial}} = -\frac{46\,251\,719}{80\times 10^{9}} \approx -5{,}7815\times 10^{-4}
Explicando: o sinal negativo indica que o comprimento diminui (compressão). O valor absoluto é a fração de encurtamento.

Passo 5

Efeito lateral (Poisson): quando se comprime axialmente um material isotrópico, ele se expande lateralmente. A razão entre a deformação lateral e a deformação axial é a razão de Poisson \nu:
\varepsilon_{\text{lateral}} = -\nu\,\varepsilon_{\text{axial}}
onde \varepsilon_{\text{lateral}} é a deformação radial (positivo se o diâmetro aumenta).
Usando \nu = 0{,}3 e o \varepsilon_{\text{axial}} calculado:
\varepsilon_{\text{lateral}} = -0{,}3\times(-5{,}7815\times 10^{-4}) \approx 1{,}7345\times 10^{-4}
Interpretação: a deformação lateral é positiva, ou seja, o diâmetro aumenta.

Passo 6

Agora relacionamos deformações com variações geométricas:
  • A variação do comprimento (encurtamento) em módulo:
\Delta L = |\varepsilon_{\text{axial}}|\;L
onde L é o comprimento original.
Calculando:
\Delta L = 5{,}7815\times 10^{-4}\times 0{,}5 \approx 2{,}8907\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}
Converto para milímetros (multiplica por 1000):
\Delta L \approx 0{,}28907\\ \mathrm{mm}
  • A variação do diâmetro (aumento):
\Delta d = \varepsilon_{\text{lateral}}\;d
onde d é o diâmetro original.
Calculando:
\Delta d = 1{,}7345\times 10^{-4}\times 0{,}075 \approx 1{,}3009\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}
Converto para milímetros:
\Delta d \approx 0{,}013009\\ \mathrm{mm}

Passo 7

Interpretação final dos sinais e unidades:
  • O diâmetro aumentou em aproximadamente 0{,}0130\\ \mathrm{mm}.
  • O comprimento diminuiu (encurtou) em aproximadamente 0{,}2891\\ \mathrm{mm}.
Força-seletor: esses valores estão em regime elástico linear (Lei de Hooke) e usam a definição usual de razão de Poisson; se as tensões fossem muito maiores que a resistência do material, não poderíamos usar essas fórmulas.

Resposta

\Delta d = 0{,}013009\\ \mathrm{mm}
\Delta L = 0{,}28907\\ \mathrm{mm}

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