Uma barra de ferro fundindo, de diâmetro
e comprimento
, é submetida a uma carga axial compressiva
. Determine:
a)
aumento
de seu diâmetro;
b)
diminuição
de seu comprimento.
Dados:
e
.
b)
Passo 1
O enunciado pede dois resultados quando a barra é comprimida por uma carga axial:
- (a) o aumento do diâmetro,
; - (b) a diminuição do comprimento,
.
Dados fornecidos (vou listar tudo para ficar claro):
Observação de unidades: vou trabalhar no SI. Converto
para newtons e
para metros:
Passo 2
Primeiro passo físico-matemático: calcular a área da seção transversal da barra (seção circular). Fórmula da área de um círculo:
onde
é a área em
e
é o diâmetro em metros.
Substituindo
:
Passo 3
Agora calculamos a tensão axial média (compressiva) na barra. Fórmula:
onde
é a tensão em pascals (
),
é a força axial em newtons e
é a área em
.
Substituindo
e o
calculado:
Comentário rápido: tensão compressiva positiva aqui é só convenção; para deformações usamos sinal apropriado a seguir.
Passo 4
Relação tensão-deformação axial (Lei de Hooke para regime elástico linear):
onde
é a deformação axial (sem unidade),
é a tensão em
e
é o módulo de Young em
.
Como a barra está comprimida, a deformação axial é negativa (encurtamento). Calculando com
:
Explicando: o sinal negativo indica que o comprimento diminui (compressão). O valor absoluto é a fração de encurtamento.
Passo 5
Efeito lateral (Poisson): quando se comprime axialmente um material isotrópico, ele se expande lateralmente. A razão entre a deformação lateral e a deformação axial é a razão de Poisson
:
onde
é a deformação radial (positivo se o diâmetro aumenta).
Usando
e o
calculado:
Interpretação: a deformação lateral é positiva, ou seja, o diâmetro aumenta.
Passo 6
Agora relacionamos deformações com variações geométricas:
- A variação do comprimento (encurtamento) em módulo:
onde
é o comprimento original.
Calculando:
Converto para milímetros (multiplica por
):
- A variação do diâmetro (aumento):
onde
é o diâmetro original.
Calculando:
Converto para milímetros:
Passo 7
Interpretação final dos sinais e unidades:
- O diâmetro aumentou em aproximadamente
. - O comprimento diminuiu (encurtou) em aproximadamente
.
Força-seletor: esses valores estão em regime elástico linear (Lei de Hooke) e usam a definição usual de razão de Poisson; se as tensões fossem muito maiores que a resistência do material, não poderíamos usar essas fórmulas.