Questão 01 (valor 2,0)
Uma barra de 20 mm de diâmetro e submetida a um carregamento de tração. O aumento no comprimento resultante de uma carga de 50 kN é 0,2 \mathrm{~mm} para um comprimento inicial de 100 mm . Determine:
a) A deformação;
b) O módulo de elasticidade.

Passo 1

O enunciado fornece uma barra com as seguintes informações (vou listar cuidadosamente tudo que temos e o que é pedido):
  • Diâmetro: d = 20\\ \text{mm}.
  • Carga (força) aplicada em tração: F = 50\\ \text{kN}.
  • Aumento de comprimento (elongação): \Delta L = 0,2\\ \text{mm}.
  • Comprimento inicial: L_0 = 100\\ \text{mm}.
O que o exercício pede:
a) Determinar a deformação (ou seja, a deformação longitudinal da barra).
b) Determinar o módulo de elasticidade (módulo de Young) da barra.

Passo 2

Entendendo o que é deformação e como calculá-la (aula rápida e prática).
A deformação longitudinal média (também chamada de deformação normal ou strain) é definida como a variação relativa do comprimento, ou seja a razão entre o aumento de comprimento e o comprimento inicial. A fórmula é:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
onde:
  • \varepsilon é a deformação (adimensional, sem unidade);
  • \Delta L é a variação de comprimento (em \text{mm} aqui);
  • L_0 é o comprimento inicial (em \text{mm} aqui).
Agora aplicamos com os dados do enunciado:
\varepsilon = \frac{0,2}{100} = 0,002.
Dica prática: \varepsilon = 0,002 é o mesmo que 2{,}0\times 10^{-3}. Em microstrain: 0,002 = 2000\\ \mu\varepsilon (porque 1\\ \mu\varepsilon = 10^{-6}).

Passo 3

Agora vamos calcular a tensão (stress), que é necessária para encontrar o módulo de elasticidade. Primeiro precisamos da área da seção transversal da barra (é circular), usando a fórmula da área do círculo:
A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2,
onde d é o diâmetro. Substituindo d=20\\ \text{mm}:
A = \pi (10\\ \text{mm})^2 = 100\pi\\ \text{mm}^2 \approx 314,16\\ \text{mm}^2.
Observação sobre unidades: é conveniente trabalhar com \text{N} e \text{mm}^2, pois 1\\ \text{N/mm}^2 = 1\\ \text{MPa}. Vamos converter a força para \text{N}:
F = 50\\ \text{kN} = 50\,000\\ \text{N}.

Passo 4

Definição de tensão e cálculo numérico (aula rápida). A tensão média normal é:
\sigma = \frac{F}{A},
onde:
  • \sigma é a tensão (em \text{N/mm}^2 ou \text{MPa});
  • F é a força em \text{N};
  • A é a área em \text{mm}^2.
Substituindo os valores:
\sigma = \frac{50\,000}{100\pi} = \frac{500}{\pi}\\ \text{N/mm}^2 \approx 159,16\\ \text{N/mm}^2 = 159,16\\ \text{MPa}.

Passo 5

Relação entre tensão, deformação e módulo de elasticidade (Hooke linear). Em regime elástico linear (lei de Hooke), a relação é:
\sigma = E\,\varepsilon,
onde:
  • E é o módulo de elasticidade (módulo de Young), geralmente em \text{N/mm}^2 ou \text{GPa};
  • \sigma é a tensão;
  • \varepsilon é a deformação.
Desse modo:
E = \frac{\sigma}{\varepsilon}.

Passo 6

Cálculo numérico do módulo E. Usando \sigma \approx \dfrac{500}{\pi}\\ \text{N/mm}^2 e \varepsilon = 0,002:
E = \frac{\dfrac{500}{\pi}}{0,002} = \frac{500}{\pi \cdot 0,002} = \frac{250\,000}{\pi}\\ \text{N/mm}^2 \approx 79\,577{,}5\\ \text{N/mm}^2.
Convertendo para unidades mais usuais:
79\,577{,}5\\ \text{N/mm}^2 = 79\,577{,}5\\ \text{MPa} \approx 79{,}58\\ \text{GPa}.

Passo 7

Interpretação rápida e arredondamento final. Resultado razoável (dependendo do material) e arredondado com 3 algarismos significativos fica:
  • Deformação: \varepsilon = 0,002.
  • Módulo de elasticidade: E \approx 79{,}58\\ \text{GPa}.
Força para cima — você já resolveu a conta inteira e aprendeu o caminho passo a passo!

Resposta

a) \varepsilon = 0,002
b) E \approx 79{,}58\\ \text{GPa}

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