2- Um bloco de 2 kg é liberado do repouso de uma altura \mathrm{h}=0,5 \mathrm{~m} e atinge a placa B de 3kg, que está apoiada sobre uma mola. O coeficiente de restituição entre A e B é e =0,6. Pede-se a velocidade do bloco A, imediatamente após a colisão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Um bloco A de massa \,2\\ \mathrm{kg} é liberado do repouso de uma altura \,h=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Antes da colisão, a placa B de massa \,3\\ \mathrm{kg} está em repouso apoiada sobre uma mola.
  • O coeficiente de restituição entre A e B é \,e=0{,}6.
  • Pergunta: qual é a velocidade do bloco A imediatamente após a colisão?

Passo 2

Primeiro vamos achar a velocidade de A imediatamente antes da colisão (ou seja, ao atingir B) usando conservação de energia mecânica no deslocamento vertical (supondo ausência de atrito do ar relevante). A ideia: energia potencial gravitacional de A ao ser solto é convertida em energia cinética ao chegar na placa.
A energia potencial inicial é \,mgh, onde:
  • \,m é a massa do bloco ( 2\\ \mathrm{kg}),
  • \,g é a aceleração da gravidade ( 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}),
  • \,h é a altura ( 0{,}5\\ \mathrm{m}).
A energia cinética quando atinge B é \,\tfrac{1}{2}mv^2, onde \,v é a velocidade que queremos achar (antes da colisão).
Igualando energias:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
Cancelando m e resolvendo para v:
v = \sqrt{2 g h}.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{2\cdot 9{,}8 \cdot 0{,}5} = \sqrt{9{,}8} \approx 3{,}1305\\ \mathrm{m/s}.
Vou chamar essa velocidade de \,u, ou seja \,u = 3{,}1305\\ \mathrm{m/s}. (Isto é a velocidade de A imediatamente antes da colisão.)

Passo 3

Agora tratamos a colisão entre A (massa m_1=2\\ \mathrm{kg}) e B (massa m_2=3\\ \mathrm{kg}). Antes da colisão B está em repouso ( u_2=0), A aproxima-se com velocidade \,u_1=u.
Dois princípios importantes para colisões rápidas:
  1. Conservação do momento linear durante a colisão (assumimos que a colisão é muito breve de modo que a força da mola não dá impulso significativo):
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
onde \,v_1 e \,v_2 são velocidades de A e B imediatamente após a colisão.
  1. Definição do coeficiente de restituição \,e (positivo, entre 0 e 1):
e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}.
Aqui u_1-u_2 é a velocidade relativa de aproximação antes e v_2-v_1 a velocidade relativa de separação depois.
Vou explicar as variáveis de forma bem direta:
  • \,u_1: velocidade de A antes (= u),
  • \,u_2: velocidade de B antes (= 0),
  • \,v_1: velocidade de A depois (o que queremos),
  • \,v_2: velocidade de B depois.

Passo 4

Escrevemos as equações com os números:
Conservação do momento:
2u + 3\cdot 0 = 2 v_1 + 3 v_2 \quad\Rightarrow\quad 2u = 2 v_1 + 3 v_2.
Coeficiente de restituição:
e = \frac{v_2 - v_1}{u - 0} \quad\Rightarrow\quad v_2 - v_1 = e\,u.
Da segunda, isolamos v_2:
v_2 = v_1 + e u.
Substituímos em conservação do momento:
2u = 2 v_1 + 3 (v_1 + e u) = 2 v_1 + 3 v_1 + 3 e u = 5 v_1 + 3 e u.
Isolando v_1:
5 v_1 = 2u - 3 e u = u(2 - 3e),
logo
v_1 = u \,\frac{2 - 3e}{5}.
Esta fórmula geral já nos dá a velocidade de A depois em função de u e e.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos: u \approx 3{,}1305\\ \mathrm{m/s} e e=0{,}6.
Calcule o fator:
2 - 3e = 2 - 3\cdot 0{,}6 = 2 - 1{,}8 = 0{,}2.
Então
\frac{2 - 3e}{5} = \frac{0{,}2}{5} = 0{,}04.
Portanto
v_1 = u \cdot 0{,}04 \approx 3{,}1305 \cdot 0{,}04 \approx 0{,}12522\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos), obtemos \,v_1 \approx 0{,}125\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento: o valor é pequeno e positivo, isto significa que A continua em frente após a colisão, mas bem devagar — muita energia foi transferida para B e parte foi dissipada pela inelasticidade ( e<1). Está certinho — você já consegue aplicar esse mesmo procedimento em outras colisões: primeiro achar velocidades antes (energia/queda), depois usar conservação de momento e definição de e.

Resposta

\,0{,}125\\ \mathrm{m/s}

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