Uma barra de ferro fundindo, de diâmetro d e comprimento L, é submetida a uma carga axial compressiva P. Determine:
A diminuição \Delta L de seu comprimento.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de ferro com diâmetro d e comprimento L submetida a uma carga axial compressiva P. A pergunta é: determinar a diminuição \Delta L do comprimento da barra causada por essa carga.
Informações relevantes que temos (e vamos usar): \,d\,,\,L\,,\,P são dados; a barra é homogênea e de seção circular; presumimos comportamento elástico linear (pequenas deformações) e que o material tem módulo de Young E (constante do material).

Passo 2

Primeiro calculemos a área da seção transversal da barra. A seção é circular de diâmetro d, portanto o raio é r=\dfrac{d}{2}. A área A de um círculo é \pi r^2. Substituindo r em termos de d obtemos:
A = \pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 = \dfrac{\pi d^2}{4}.
Aqui explico: essa área é a face perpendicular à carga axial por onde a força P atua.

Passo 3

Definimos tensão (stress) axial média \sigma como força por unidade de área. Ou seja,
\sigma = \dfrac{P}{A}.
Interpretação: \sigma tem unidades de pressão (por exemplo, Pascal, \text{Pa} = \text{N}/\text{m}^2). Essa é a intensidade da força concentrada por unidade de área.

Passo 4

Definimos deformação (strain) axial \varepsilon como a variação relativa do comprimento:
\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}.
Explicação: \varepsilon é adimensional e mede quanto o comprimento mudou em relação ao comprimento original. Para compressão pura, \Delta L é negativa se usarmos sinal; mas como o enunciado pede a diminuição, estamos interessados na magnitude.

Passo 5

Para materiais elásticos lineares (com pequenas deformações) existe a relação linear entre tensão e deformação (lei de Hooke na forma unidimensional):
\sigma = E\,\varepsilon,
onde E é o módulo de Young do material (constante que mede a rigidez do material; unidades iguais às da tensão, p.ex. Pascal). Isso significa: tensão = rigidez × deformação.

Passo 6

Agora combinamos as expressões das etapas anteriores. Substituindo \sigma=\dfrac{P}{A} e \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L} na lei de Hooke:
\dfrac{P}{A} = E\cdot\dfrac{\Delta L}{L}.
Isolando \Delta L obtemos:
\Delta L = \dfrac{P\,L}{A\,E}.
Aqui estamos resolvendo passo a passo: multiplicamos ambos os lados por L/(E) e dividimos por 1.

Passo 7

Finalmente substituímos a área A=\dfrac{\pi d^2}{4} que encontramos no Passo 2 na expressão acima:
\Delta L = \dfrac{P\,L}{\left(\dfrac{\pi d^2}{4}\right) E} = \dfrac{4\,P\,L}{\pi d^2 E}.
Interpretação final: essa fórmula dá a diminuição do comprimento (magnitude). Se você quiser o sinal considerando compressão como negativo, a mudança de comprimento seria \Delta L = -\dfrac{P L}{A E} = -\dfrac{4 P L}{\pi d^2 E}.

Resposta

\displaystyle \Delta L = \dfrac{4\,P\,L}{\pi d^2 E}

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