Uma barra de ferro fundindo, de diâmetro
e comprimento
, é submetida a uma carga axial compressiva
. Determine:
A diminuição
de seu comprimento.
A diminuição
Passo 1
O enunciado dá uma barra de ferro com diâmetro
e comprimento
submetida a uma carga axial compressiva
. A pergunta é: determinar a diminuição
do comprimento da barra causada por essa carga.
Informações relevantes que temos (e vamos usar): são dados; a barra é homogênea e de seção circular; presumimos comportamento elástico linear (pequenas deformações) e que o material tem módulo de Young
(constante do material).
Informações relevantes que temos (e vamos usar):
Passo 2
Primeiro calculemos a área da seção transversal da barra. A seção é circular de diâmetro
, portanto o raio é
. A área
de um círculo é
. Substituindo
em termos de
obtemos:
Aqui explico: essa área é a face perpendicular à carga axial por onde a força
atua.
Passo 3
Definimos tensão (stress) axial média
como força por unidade de área. Ou seja,
Interpretação:
tem unidades de pressão (por exemplo, Pascal,
). Essa é a intensidade da força concentrada por unidade de área.
Passo 4
Definimos deformação (strain) axial
como a variação relativa do comprimento:
Explicação:
é adimensional e mede quanto o comprimento mudou em relação ao comprimento original. Para compressão pura,
é negativa se usarmos sinal; mas como o enunciado pede a diminuição, estamos interessados na magnitude.
Passo 5
Para materiais elásticos lineares (com pequenas deformações) existe a relação linear entre tensão e deformação (lei de Hooke na forma unidimensional):
onde
é o módulo de Young do material (constante que mede a rigidez do material; unidades iguais às da tensão, p.ex. Pascal). Isso significa: tensão = rigidez × deformação.
Passo 6
Agora combinamos as expressões das etapas anteriores. Substituindo
e
na lei de Hooke:
Isolando
obtemos:
Aqui estamos resolvendo passo a passo: multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
.
Passo 7
Finalmente substituímos a área
que encontramos no Passo 2 na expressão acima:
Interpretação final: essa fórmula dá a diminuição do comprimento (magnitude). Se você quiser o sinal considerando compressão como negativo, a mudança de comprimento seria
.