O tambor A possui aceleração angular constante
que faz com que o carretel
de 20 kg role sobre a superfície horizontal. O tambor A aciona o carretel B por meio do cabo que se enrola no centro do carretel. O raio de giração do carretel com relação ao eixo que passa pelo centro de massa é
. Determime o valor do menor coeficiente de atrito estático para que o carretel role sem escorregar sobre a superfície horizontal. (valor da questão: 5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede: determinar o menor coeficiente de atrito estático para que o carretel
role sem escorregar sobre a superfície horizontal.
Informações dadas (peguei estes valores da imagem e do enunciado):
Informações dadas (peguei estes valores da imagem e do enunciado):
- massa do carretel
: ; - raio externo do carretel:
(valor observado na imagem); - raio do aro onde o cabo se enrola no carretel:
(valor observado na imagem); - raio do tambor
: (valor observado na imagem); - aceleração angular constante do tambor
: (dado do enunciado); - raio de giração do carretel (usado para o momento de inércia):
(dado do enunciado); - gravidade: tomaremos
.
O que precisamos encontrar: o menor coeficiente de atrito estáticotal que não haja deslizamento entre o carretel e o solo (ou seja, a condição de rolamento sem escorregar é satisfeita).
Passo 2
Primeira observação física importante (aula rápida): o tambor
impõe a aceleração linear do cabo porque o cabo se enrola sem deslizar nele. A aceleração tangencial do cabo é
Essa aceleração linear do cabo puxa o carretel
; portanto a aceleração do centro de massa de
será igual a
(assumimos cabo inextensível e sem deslizamento no tambor
).
Calculemos
:
Passo 3
Definimos sinais e forças (mini-aula sobre forças):
- Tomamos a direção para a direita como positiva.
- Forças horizontais atuando no carretel
: a tensão do cabo (para a direita) aplicada no aro de raio , e a força de atrito estático no ponto de contato com o solo (pode ter sinal positivo para a direita ou negativo se for para a esquerda). A normal é . - A equação de translação de Newton para o centro de massa:
(Se
for negativo significa que na verdade a força de atrito atua para a esquerda.)
Passo 4
Equação de rotação (mini-aula sobre torque e momento de inércia):
- Tomamos como positivo o sentido de rotação que corresponde ao rolamento para a direita (rotação que satisfaz
). A tensão aplicada no aro de raio produz um torque que tende a girar o carretel na direção que gera rolamento para a direita; a força de atrito aplicada no ponto de contato produz torque no sentido oposto (dependendo do sinal de ). A equação do momento resultante em torno do centro de massa é
onde
é o momento de inércia do carretel em relação ao seu centro e
é a aceleração angular do carretel.
Passo 5
Condição de rolamento sem escorregar (mini-aula conceitual):
- Rolamento sem escorregar significa que a aceleração linear do centro de massa
e a aceleração angular são ligadas por
Assim
.
Passo 6
Expressão para o momento de inércia (mini-aula sobre raio de giração):
- O momento de inércia de um corpo de massa
dado o raio de giração é
Calculemos:
Passo 7
Agora vamos combinar as equações para eliminar
e
e encontrar
. Reescrevendo:
- da translação:
. - da rotação com
:
Substituindo
:
Agrupando os termos em
:
Isolando
:
Passo 8
Substituímos os números (faça junto comigo):
-
. -
.
Logo o numerador:
Denominador:
Portanto
O sinal negativo indica que a força de atrito atua para a esquerda. O módulo da força de atrito necessária é
.
Passo 9
Cálculo do coeficiente de atrito mínimo (mini-aula sobre limite do atrito estático):
- A força de atrito máxima disponível sem deslizamento é
. Para que não haja deslizamento precisamos de
Assim o menor coeficiente
que satisfaz a condição é
Substituindo valores:
Arredondando razoavelmente,
Passo 10
Interpretação física curta e incentivo: o valor é muito pequeno porque o cabo transmite praticamente toda a aceleração ao carretel e o torque necessário para girá-lo é grande (devido ao momento de inércia), então a contribuição do atrito é pequena e aparece apenas para ajustar torques; por isso um atrito bem pequeno já é suficiente. Boa — você já consegue seguir todo o raciocínio físico e matemático!