Uma barra fina de comprimento
e momento de inércia
está na horizontal presa a um eixo de rotação vertical que passa por seu centro de massa. A barra é posta para girar com aceleração angular constante durante
até alcançar uma velocidade angular de
. Seu sistema de freio consiste de dois pequenos anéis, cada um de massa
, inicialmente presos ao eixo de rotação, e montados de forma que podem deslizar ao longo da barra. Quando o freio é acionado cada anél desliza para fora até alcançar a borda da barra. Calcule (a) a aceleração angular e o torque necessário para fazer a barra alcançar a velocidade angular
(b) a velocidade angular
depois que o freio é acionado e os aneis alcançam a borda da barra; © a diferença entre as energias de rotação
e
e o trabalho realizado para deslocar os aneis de freio do eixo até a borda da barra.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma barra fina de 1 metro de comprimento e um certo momento de inércia, que está presa a um eixo e começa a girar. A barra é acelerada angularmente até atingir uma certa velocidade em 5 segundos. Depois, um sistema de freio com dois anéis começa a agir, fazendo com que os anéis deslizem até a borda da barra. Precisamos calcular três coisas:
a) A aceleração angular e o torque necessário para que a barra atinja a velocidade angular ω₁ = 2,00 rad/s.
b) A velocidade angular ω₂ depois que os anéis alcançam a borda da barra.
c) A diferença entre as energias de rotação antes e depois do freio ser acionado, além do trabalho realizado para mover os anéis.
b) A velocidade angular ω₂ depois que os anéis alcançam a borda da barra.
c) A diferença entre as energias de rotação antes e depois do freio ser acionado, além do trabalho realizado para mover os anéis.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional, momento de inércia, torque e energia cinética rotacional.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). Precisamos encontrar a aceleração angular (α) e o torque (τ) que fazem a barra atingir ω₁ = 2,00 rad/s em t = 5,00 s.
A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular, então usamos a fórmula:
Aqui, Δω = ω₁ - ω₀. Como a barra parte do repouso, ω₀ = 0. Então:
Passo 3
Agora, para encontrar o torque, lembramos que o torque está relacionado com a aceleração angular pelo momento de inércia (I):
Nos foi dado que I = 0,042 kg·m² e já calculamos α = 0,40 rad/s².
Então:
Passo 4
Vamos para a parte (b). Depois que o freio é acionado, os anéis deslizam até a borda da barra. Isso altera o momento de inércia do sistema. Primeiro, calculamos o momento de inércia total após os anéis alcançarem a borda.
Cada anel tem massa m = 0,25 kg e a distância do eixo é r = 0,5 m (meio da barra de 1 m para a borda).
O momento de inércia de cada anel é:
Como são dois anéis:
Agora, usamos a conservação do momento angular. Antes do freio, o momento angular é:
Depois do freio:
Como não há torque externo, $ L_1 = L_2 $:
Passo 5
Agora, para a parte ©, queremos a diferença entre as energias de rotação antes e depois e o trabalho realizado para mover os anéis.
A energia cinética rotacional é dada por:
Calculamos antes:
E depois:
A diferença de energia é:
Esse é o trabalho realizado para mover os anéis do eixo até a borda da barra.
Resposta
(a) A aceleração angular é $ \alpha = 0,40\ rad/s^2 $ e o torque necessário é $ \tau = 0,0168\ N·m $.
(b) A velocidade angular depois que os anéis alcançam a borda é $ \omega_2 \approx 0,503\ rad/s $.
© A diferença entre as energias de rotação é $ \Delta K = 0,063\ J $ e o trabalho realizado para deslocar os anéis é $ 0,063\ J $.