No espaço livre tem-se o potencial magnético vetorial A=x y z ax+x z az W Wb / m considerando coordenadas cartesianas. Calcule o campo magnético H associado ao vetor A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial magnético vetorial $ \mathbf{A} = x y z , \mathbf{a}_x + x z , \mathbf{a}_z $ (em unidades de Wb/m) no espaço livre, usando coordenadas cartesianas. A tarefa é calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ associado a esse vetor $ \mathbf{A} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente como o campo magnético $ \mathbf{H} $ está relacionado ao potencial magnético $ \mathbf{A} $. Precisaremos calcular o rotacional (curl) de $ \mathbf{A} $ para encontrar o campo magnético $ \mathbf{B} $ e, em seguida, relacionar $ \mathbf{B} $ com $ \mathbf{H} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético $ \mathbf{B} $ pode ser obtido a partir do potencial vetorial $ \mathbf{A} $ usando a operação de rotacional:
B
Então, nosso primeiro passo é calcular $ \nabla \times \mathbf{A} $.

Passo 3

Vamos escrever os componentes de $ \mathbf{A} $:
A
Onde:
  • $ A_x = x y z $
  • $ A_y = 0 $ (já que não tem componente $ \mathbf{a}_y $)
  • $ A_z = x z $

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{A} $:
A
Como $ A_y = 0 $, algumas derivadas anulem.

Passo 5

Calculando cada componente:
  • Componente $ \mathbf{a}_x $:
ax
  • Componente $ \mathbf{a}_y $:
partial Azpartial y - partial Aypartial z = partial (x z)partial y - 0 = 0
  • Componente $ \mathbf{a}_z $:
ay

Passo 6

Então, o rotacional fica:
nabla times A = 0 cdot ax + (x y - z) ay - x z az
Ou seja:
B = (x y - z) ay - x z az

Passo 7

Agora, precisamos relacionar $ \mathbf{B} $ com $ \mathbf{H} B ççé \mathbf{M} = 0 $), temos:
H
Onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).

Passo 8

Isolando $ \mathbf{H} $:
H

Resposta

O campo magnético $ \mathbf{H} $ associado ao vetor $ \mathbf{A} $ é:
H

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