No espaço livre tem-se o potencial magnético vetorial
considerando coordenadas cartesianas. Calcule o campo magnético
associado ao vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial magnético vetorial $ \mathbf{A} = x y z , \mathbf{a}_x + x z , \mathbf{a}_z $ (em unidades de Wb/m) no espaço livre, usando coordenadas cartesianas. A tarefa é calcular o campo magnético $ \mathbf{H} $ associado a esse vetor $ \mathbf{A} $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente como o campo magnético $ \mathbf{H} $ está relacionado ao potencial magnético $ \mathbf{A} $. Precisaremos calcular o rotacional (curl) de $ \mathbf{A} $ para encontrar o campo magnético $ \mathbf{B} $ e, em seguida, relacionar $ \mathbf{B} $ com $ \mathbf{H} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético $ \mathbf{B} $ pode ser obtido a partir do potencial vetorial $ \mathbf{A} $ usando a operação de rotacional:
Então, nosso primeiro passo é calcular $ \nabla \times \mathbf{A} $.
Passo 3
Vamos escrever os componentes de $ \mathbf{A} $:
Onde:
- $ A_x = x y z $
- $ A_y = 0 $ (já que não tem componente $ \mathbf{a}_y $)
- $ A_z = x z $
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{A} $:
Como $ A_y = 0 $, algumas derivadas anulem.
Passo 5
Calculando cada componente:
- Componente $ \mathbf{a}_x $:
- Componente $ \mathbf{a}_y $:
- Componente $ \mathbf{a}_z $:
Passo 6
Então, o rotacional fica:
Ou seja:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar $ \mathbf{B} $ com $ \mathbf{H}
\mathbf{M} = 0 $), temos:
Onde $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
Passo 8
Isolando $ \mathbf{H} $:
Resposta
O campo magnético $ \mathbf{H} $ associado ao vetor $ \mathbf{A} $ é: