Um planador foi projetado para que a velocidade do ar fluindo por cima de suas asas seja v1=vp e abaixo das asas seja v2=alpha vp, onde vp é a velocidade do planador e alpha(<1) é o fator aerodinâmico das asas. A massa do planador é m=1200 kg e suas asas tem uma área A=20,0 m^2. Durante o vôo alphav=0.8; durante a aterrizagem (com flaps acionados) o fator aerodinâmico se altera para alphaa. Use a conservação de energia (equação de Bernoulli) para obter uma expressão relacionando vp e alpha em termos de m e A. (a) Qual deve ser a velocidade de vôo vp para que a força de sustentação causada pela diferença de pressão nas asas iguale o peso do planador? (b) Qual deve ser o fator aerodinâmico alphaa durante uma aterrizagem com velocidade vp=40 m / s(=144 km / h) para que a força de sustentação continue igualando o peso do planador? Ignore a espessura das asas e assuma rhoar=1,2 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um planador com certas características como massa, área das asas e velocidade do ar em cima e embaixo das asas, relacionadas por um fator aerodinâmico alpha. A gente precisa usar a conservação de energia, especificamente a equação de Bernoulli, para relacionar a velocidade do planador vp e o fator aerodinâmico alpha em termos da massa m e da área A. Depois, vamos responder duas partes:
(a) Encontrar a velocidade de voo vp para que a força de sustentação iguale o peso do planador.
(b) Determinar o fator aerodinâmico alphaa durante a aterrissagem para uma velocidade específica, mantendo a força de sustentação igual ao peso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de sustentação Fs gerada pelas asas do planador é devido à diferença de pressão entre a parte de cima e de baixo das asas. Essa diferença de pressão pode ser calculada usando a equação de Bernoulli, que relaciona a velocidade do ar e a pressão.
A equação de Bernoulli é:
P + 12rho v^2 = constante
onde P é a pressão, rho é a densidade do ar, e v é a velocidade do ar.

Passo 3

No nosso caso, a velocidade do ar em cima das asas é v1 = vp e, e embaixo das asas é v2 = alpha vp. Aplicando a equação de Bernoulli em cima e embaixo das asas, temos:
Para cima:
P1 + 12rho v1^2 = P1 + 12rho (vp e)^2
Para baixo:
P2 + 12rho v2^2 = P2 + 12rho (alpha vp)^2

Passo 4

A força de sustentação Fs é a diferença de pressão multiplicada pela área das asas:
Fs = (P2 - P1) cdot A
Subtraindo as duas equações de Bernoulli:
P2 - P1 = 12rho (v1^2 - v2^2) = 12rho ((vp e)^2 - (alpha vp)^2)
Então:
Fs = 12rho (vp^2 e^2 - alpha^2 vp^2) cdot A

Passo 5

Queremos que a força de sustentação iguale o peso do planador. O peso P é dado por:
P = m cdot g
onde m = 1200 , kg e g approx 9,81 , m/s^2.
Então, temos:
12rho (vp^2 e^2 - alpha^2 vp^2) cdot A = m cdot g

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
12rho vp^2 (e^2 - alpha^2) cdot A = m cdot g
Isolando vp^2:
vp^2 = 2 m grho A (e^2 - alpha^2)
Então, a velocidade do planador vp é:
vp = raiz2 m grho A (e^2 - alpha^2)

Passo 7

Agora vamos para a parte (a), onde precisamos encontrar a velocidade de voo vp para que a força de sustentação iguale o peso. Sabemos que durante o voo normal, alpha = alphav = 0,8. Também temos e = 1 (já que não foi especificado, assumimos que v1 = vp).
Substituindo os valores:
vp = raiz2 cdot 1200 cdot 9,811,2 cdot 20 cdot (1^2 - 0,8^2)

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
Primeiro, calculamos o denominador:
1,2 cdot 20 cdot (1 - 0,64) = 1,2 cdot 20 cdot 0,36 = 1,2 cdot 7,2 = 8,64
Agora, o numerador:
2 cdot 1200 cdot 9,81 = 2400 cdot 9,81 = 23544
Então:
vp = raiz235448,64 approx raiz2723,6111 approx 52,19 , m/s

Resposta

(a) A velocidade de voo vp necessária para que a força de sustentação iguale o peso do planador é aproximadamente 52,19 , m/s.

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